Comment exploiter l'équivalence entre existence de $E(X^2)$ et existence de $E(X)$ et $V(X)$ ?

Le support est $[1,+\infty[$. On forme $t^2 f_X(t)=\frac{3}{t^2}$ sur $[1,+\infty[$.

L'intégrale $\int_1^{+\infty}\frac{3}{t^2}\,\mathrm{d}t$ converge (Riemann, $\alpha=2>1$), donc converge absolument.

Par équivalence admise, $E(X)$ et $V(X)$ existent simultanément.

On peut alors calculer $E(X)=\int_1^{+\infty}\frac{3}{t^3}\,\mathrm{d}t=\frac{3}{2}$, $E(X^2)=\int_1^{+\infty}\frac{3}{t^2}\,\mathrm{d}t=3$ et $V(X)=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$.