Comment exploiter la stabilité… : En utilisant la stabilité affine X_i… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment exploiter la stabilité de la loi $\gamma$ et de la loi normale pour la somme de variables indépendantes ?

En utilisant la stabilité affine $X_i \sim \mathcal{N}(\mu_i, \sigma_i^2)$ indépendantes $\Rightarrow aX_1 + bX_2 + c \sim \mathcal{N}(a\mu_1 + b\mu_2 + c, a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2)$

Déterminer la loi d'une combinaison linéaire $aX + bY + c$ de variables normales indépendantes.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \sim \mathcal{N}(2, 9)$ et $Y \sim \mathcal{N}(-1, 4)$ indépendantes. Déterminer la loi de $Z = X + Y$ .

L'objectif

Déterminer la loi d'une combinaison linéaire $aX + bY + c$ de variables normales indépendantes.

Le principe

Si $X_1 \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2)$ et $X_2 \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2)$ sont indépendantes, alors pour tous réels $a, b, c$ (avec $(a,b) \neq (0,0)$ ) on a $aX_1 + bX_2 + c \sim \mathcal{N}(a\mu_1 + b\mu_2 + c,\ a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2)$ (résultat admis au BO).

La méthode

1
J'identifie les paramètres $(\mu_i, \sigma_i^2)$ des lois normales de chaque $X_i$ et je vérifie l'indépendance des variables.
2
Je repère les coefficients $a, b, c$ de la combinaison linéaire étudiée, en veillant à bien écrire l'éventuelle constante $c$ .
3
Je calcule la nouvelle moyenne $m = a\mu_1 + b\mu_2 + c$ par linéarité de l'espérance.
4
Je calcule la nouvelle variance $s^2 = a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2$ (indépendance) et je conclus $aX_1 + bX_2 + c \sim \mathcal{N}(m, s^2)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X \sim \mathcal{N}(2, 9)$ et $Y \sim \mathcal{N}(-1, 4)$ indépendantes. Déterminer la loi de $Z = X + Y$ .

Étape 1 —

J'identifie les paramètres

(\mu_i, \sigma_i^2)

des lois normales de chaque

X_i

et je vérifie l'indépendance des variables.

On a $\mu_1 = 2$ , $\sigma_1^2 = 9$ , $\mu_2 = -1$ , $\sigma_2^2 = 4$ , et $X \perp\!\!\!\perp Y$ .

Étape 2 —

Je repère les coefficients

a, b, c

de la combinaison linéaire étudiée, en veillant à bien écrire l'éventuelle constante

c

La combinaison est $Z = 1 \cdot X + 1 \cdot Y + 0$ , donc $a = 1$ , $b = 1$ , $c = 0$ .

Étape 3 —

Je calcule la nouvelle moyenne

m = a\mu_1 + b\mu_2 + c

par linéarité de l'espérance.

Espérance : $\mathbb{E}(Z) = 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + 0 = 1$ .

Étape 4 —

Je calcule la nouvelle variance

s^2 = a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2

(indépendance) et je conclus

aX_1 + bX_2 + c \sim \mathcal{N}(m, s^2)

Variance : $V(Z) = 1^2 \cdot 9 + 1^2 \cdot 4 = 13$ . Donc $Z \sim \mathcal{N}(1, 13)$ .

$Z \sim \mathcal{N}(1, 13)$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment exploiter la stabilité de la loi γ\gammaγ et de la loi normale pour la somme de variables indépendantes ?

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment exploiter la stabilité de la loi $\gamma$ et de la loi normale pour la somme de variables indépendantes ?