Comment exploiter la stabilité… : En utilisant la stabilité additive X… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment exploiter la stabilité de la loi $\gamma$ et de la loi normale pour la somme de variables indépendantes ?

En utilisant la stabilité additive $X \sim \gamma(\nu_1)$ , $Y \sim \gamma(\nu_2)$ indépendantes $\Rightarrow X+Y \sim \gamma(\nu_1+\nu_2)$

Identifier la loi de la somme $X+Y$ de deux variables de lois gamma indépendantes sans calcul de convolution.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \sim \gamma(3)$ et $Y \sim \gamma(5)$ indépendantes. Déterminer la loi de $S = X + Y$ .

L'objectif

Identifier la loi de la somme $X+Y$ de deux variables de lois gamma indépendantes sans calcul de convolution.

Le principe

Si $X_1 \sim \gamma(\nu_1)$ et $X_2 \sim \gamma(\nu_2)$ sont indépendantes (avec $\nu_1, \nu_2 > 0$ ), alors $X_1 + X_2 \sim \gamma(\nu_1 + \nu_2)$ (résultat admis au BO).

La méthode

1
J'identifie pour chaque variable $X_i$ la loi $\gamma(\nu_i)$ (densité $\frac{t^{\nu_i-1} e^{-t}}{\Gamma(\nu_i)}\,\mathbf{1}_{t>0}$ ) et je vérifie l'indépendance.
2
Je vérifie les hypothèses du théorème de stabilité : variables indépendantes, lois de type $\gamma$ avec des paramètres positifs.
3
J'applique la stabilité : $X_1 + X_2 \sim \gamma(\nu_1 + \nu_2)$ , et j'écris la densité associée.
4
Je vérifie éventuellement la cohérence sur l'espérance et la variance : $\mathbb{E}(X_1+X_2) = \nu_1 + \nu_2$ , $V(X_1+X_2) = \nu_1 + \nu_2$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X \sim \gamma(3)$ et $Y \sim \gamma(5)$ indépendantes. Déterminer la loi de $S = X + Y$ .

Étape 1 —

J'identifie pour chaque variable

X_i

la loi

\gamma(\nu_i)

(densité

\frac{t^{\nu_i-1} e^{-t}}{\Gamma(\nu_i)}\,\mathbf{1}_{t>0}

) et je vérifie l'indépendance.

On a $X \sim \gamma(3)$ et $Y \sim \gamma(5)$ , et l'énoncé indique l'indépendance.

Étape 2 —

Je vérifie les hypothèses du théorème de stabilité : variables indépendantes, lois de type

\gamma

avec des paramètres positifs.

Les hypothèses du théorème de stabilité de la loi $\gamma$ sont vérifiées : lois $\gamma$ , indépendance, $\nu_1 = 3 > 0$ et $\nu_2 = 5 > 0$ .

Étape 3 —

J'applique la stabilité :

X_1 + X_2 \sim \gamma(\nu_1 + \nu_2)

, et j'écris la densité associée.

On en déduit $S = X + Y \sim \gamma(3 + 5) = \gamma(8)$ , de densité $f_S(t) = \frac{t^7 e^{-t}}{7!}\,\mathbf{1}_{t>0}$ .

Étape 4 —

Je vérifie éventuellement la cohérence sur l'espérance et la variance :

\mathbb{E}(X_1+X_2) = \nu_1 + \nu_2

V(X_1+X_2) = \nu_1 + \nu_2

Cohérence : $\mathbb{E}(S) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y) = 3 + 5 = 8$ et $V(S) = V(X) + V(Y) = 3 + 5 = 8$ , ce qui correspond bien à $\gamma(8)$ .

$S \sim \gamma(8)$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment exploiter la stabilité de la loi γ\gammaγ et de la loi normale pour la somme de variables indépendantes ?

En utilisant la stabilité additive X∼γ(ν1)X \sim \gamma(\nu_1)X∼γ(ν1​), Y∼γ(ν2)Y \sim \gamma(\nu_2)Y∼γ(ν2​) indépendantes ⇒X+Y∼γ(ν1+ν2)\Rightarrow X+Y \sim \gamma(\nu_1+\nu_2)⇒X+Y∼γ(ν1​+ν2​)

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment exploiter la stabilité de la loi $\gamma$ et de la loi normale pour la somme de variables indépendantes ?

En utilisant la stabilité additive $X \sim \gamma(\nu_1)$ , $Y \sim \gamma(\nu_2)$ indépendantes $\Rightarrow X+Y \sim \gamma(\nu_1+\nu_2)$