Comment déterminer la matrice de passage entre deux bases d'un espace vectoriel ?

En inversant la matrice de passage dans l'autre sens

Déterminer $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}$ lorsque $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ est déjà connue (ou plus facile à écrire).

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans $\mathbb{R}^2$ , on a $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ . Déterminer $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}$ .

L'objectif

Déterminer $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}$ lorsque $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ est déjà connue (ou plus facile à écrire).

Le principe

Toute matrice de passage est inversible et $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}} = (P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'})^{-1}$ .

La méthode

1
J'identifie laquelle des deux matrices de passage est la plus simple à construire par coordonnées et je l'écris en premier.
2
Je calcule son inverse (par le pivot de Gauss, par la comatrice en dimension $2$ , ou en résolvant $P X = Y$ ).
3
Je conclus que l'inverse obtenue est $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}} = (P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'})^{-1}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^2$ , on a $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ . Déterminer $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}$ .

Étape 1 —

J'identifie laquelle des deux matrices de passage est la plus simple à construire par coordonnées et je l'écris en premier.

La matrice $P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}$ est donnée ; je cherche son inverse.

Étape 2 —

Je calcule son inverse (par le pivot de Gauss, par la comatrice en dimension

2

, ou en résolvant

P X = Y

).

Son déterminant vaut $-2 \neq 0$ , donc inversible ; $P^{-1} = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je conclus que l'inverse obtenue est

P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}} = (P_{\mathcal{B},\mathcal{B}'})^{-1}

.

Je conclus : $P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

$P_{\mathcal{B}',\mathcal{B}} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

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