Comment écrire la matrice d'un… : En calculant les images f(e_j) et en… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment écrire la matrice d'un endomorphisme dans une base donnée ?

En calculant les images $f(e_j)$ et en les écrivant en colonnes dans la base

Obtenir $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ à partir de la donnée de $f$ sur les vecteurs d'une base $\mathcal{B}$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans la base canonique $\mathcal{B} = (e_1, e_2)$ de $\mathbb{R}^2$ , on définit $f$ par $f(x,y) = (2x + y, x - 3y)$ . Déterminer $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ .

L'objectif

Obtenir $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ à partir de la donnée de $f$ sur les vecteurs d'une base $\mathcal{B}$ .

Le principe

Si $\mathcal{B} = (e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$ et $f \in \mathcal{L}(E)$ , alors $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ a pour $j$ -ème colonne les coordonnées de $f(e_j)$ dans $\mathcal{B}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $\mathcal{B} = (e_1,\dots,e_n)$ est bien une base de $E$ et que $f$ est un endomorphisme de $E$ .
2
Pour chaque $j \in \{1,\dots,n\}$ , je calcule $f(e_j)$ et je décompose ce vecteur dans la base $\mathcal{B}$ : $f(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{i,j} e_i$ .
3
Je place les coordonnées $(a_{1,j}, \dots, a_{n,j})$ en $j$ -ème colonne de la matrice $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = (a_{i,j})$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans la base canonique $\mathcal{B} = (e_1, e_2)$ de $\mathbb{R}^2$ , on définit $f$ par $f(x,y) = (2x + y, x - 3y)$ . Déterminer $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

\mathcal{B} = (e_1,\dots,e_n)

est bien une base de

E

et que

f

est un endomorphisme de

E

$\mathcal{B} = (e_1, e_2)$ est bien la base canonique de $\mathbb{R}^2$ et $f$ est linéaire, donc un endomorphisme.

Étape 2 —

Pour chaque

j \in \{1,\dots,n\}

, je calcule

f(e_j)

et je décompose ce vecteur dans la base

\mathcal{B}

f(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{i,j} e_i

Je calcule $f(e_1) = f(1,0) = (2, 1) = 2 e_1 + 1 \cdot e_2$ et $f(e_2) = f(0,1) = (1, -3) = 1 \cdot e_1 - 3 e_2$ .

Étape 3 —

Je place les coordonnées

(a_{1,j}, \dots, a_{n,j})

j

-ème colonne de la matrice

\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = (a_{i,j})

Je place les coordonnées en colonnes : $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$ .

$\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$ .

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Comment écrire la matrice d'un endomorphisme dans une base donnée ?

En calculant les images f(ej)f(e_j)f(ej​) et en les écrivant en colonnes dans la base

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant les images $f(e_j)$ et en les écrivant en colonnes dans la base