Comment montrer qu'une fonction est de classe $\mathcal{C}^1$ ?

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit ; $f'(x)=(1-x)\mathrm{e}^{-x}$.

$x\mapsto(1-x)\mathrm{e}^{-x}$ est produit de fonctions continues sur $\mathbb{R}$, donc $f'$ est continue sur $\mathbb{R}$.

$f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R})$.