Comment montrer qu'une matrice… : En exhibant B telle que AB=I_n… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment montrer qu'une matrice carrée est inversible et calculer son inverse ?

En exhibant $B$ telle que $AB=I_n$ (l'inverse à droite est l'inverse, résultat admis)

Montrer qu'une matrice carrée est inversible et calculer son inverse en proposant un candidat $B$ et en vérifiant $AB=I_n$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ est inversible en vérifiant que $B=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ convient.

L'objectif

Montrer qu'une matrice carrée est inversible et calculer son inverse en proposant un candidat $B$ et en vérifiant $AB=I_n$ .

Le principe

Pour $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ carrée, s'il existe $B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $AB=I_n$ , alors $A$ est inversible et $B=A^{-1}$ (résultat admis au programme ECG : pour les matrices carrées, inverse à droite $\Rightarrow$ inverse).

La méthode

1
Je vérifie que $A$ est carrée et je propose un candidat $B$ (éventuellement suggéré par l'intuition, une relation polynomiale ou un calcul exploratoire).
2
Je calcule $AB$ et je vérifie explicitement que $AB=I_n$ .
3
Je conclus par le résultat admis : $A$ est inversible et $A^{-1}=B$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ est inversible en vérifiant que $B=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ convient.

Étape 1 —

Je vérifie que

A

est carrée et je propose un candidat

B

(éventuellement suggéré par l'intuition, une relation polynomiale ou un calcul exploratoire).

$A$ est carrée d'ordre $2$ . Je propose $B=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

Je calcule

AB

et je vérifie explicitement que

AB=I_n

$AB=\begin{pmatrix} 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot(-1)+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot(-1)+1\cdot 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I_2$ .

Étape 3 —

Je conclus par le résultat admis :

A

est inversible et

A^{-1}=B

Par le résultat admis, $A$ est inversible et $A^{-1}=B=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

$A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

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Comment montrer qu'une matrice carrée est inversible et calculer son inverse ?

En exhibant BBB telle que AB=InAB=I_nAB=In​ (l'inverse à droite est l'inverse, résultat admis)

Pour comprendre, fais des exercices !

En exhibant $B$ telle que $AB=I_n$ (l'inverse à droite est l'inverse, résultat admis)