Comment déterminer une famille… : En éliminant les vecteurs redondants par… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment déterminer une famille génératrice, une base, la dimension d'un sous-espace vectoriel ?

En éliminant les vecteurs redondants par pivot de Gauss pour extraire une base

Extraire, d'une famille génératrice $(u_1,\dots,u_p)$ de $F$ , une base de $F$ par élimination des vecteurs redondants.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Extraire une base de $F=\mathrm{Vect}((1,1,0),(0,1,1),(1,0,-1))$ et donner $\dim F$ .

L'objectif

Extraire, d'une famille génératrice $(u_1,\dots,u_p)$ de $F$ , une base de $F$ par élimination des vecteurs redondants.

Le principe

Si $F=\mathrm{Vect}(u_1,\dots,u_p)$ , on peut extraire une base de $F$ en plaçant les $u_i$ en colonnes d'une matrice $A$ , en l'échelonnant par pivot de Gauss : les vecteurs initiaux $u_i$ correspondant aux colonnes contenant un pivot forment une base de $F$ , et $\dim F$ est le nombre de pivots.

La méthode

1
Je forme la matrice $A$ dont les colonnes sont les vecteurs $u_1,\dots,u_p$ de la famille génératrice de $F$ .
2
J'applique la méthode du pivot de Gauss sur les lignes de $A$ pour l'échelonner et je repère les colonnes contenant un pivot.
Comment résoudre un système linéaire par la méthode du pivot de Gauss ?Voir
3
Je conclus que les vecteurs $u_i$ correspondant aux colonnes pivots forment une base de $F$ , et que la dimension de $F$ est le nombre de pivots.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Extraire une base de $F=\mathrm{Vect}((1,1,0),(0,1,1),(1,0,-1))$ et donner $\dim F$ .

Étape 1 —

Je forme la matrice

A

dont les colonnes sont les vecteurs

u_1,\dots,u_p

de la famille génératrice de

F

Je forme $A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix}$ dont les colonnes sont les trois vecteurs.

Étape 2 —

J'applique la méthode du pivot de Gauss sur les lignes de

A

pour l'échelonner et je repère les colonnes contenant un pivot.

$L_2\leftarrow L_2-L_1$ donne $\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix}$ , puis $L_3\leftarrow L_3-L_2$ donne $\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ . Les pivots sont en colonnes 1 et 2.

Étape 3 —

Je conclus que les vecteurs

u_i

correspondant aux colonnes pivots forment une base de

F

, et que la dimension de

F

est le nombre de pivots.

Les vecteurs $(1,1,0)$ et $(0,1,1)$ correspondant aux colonnes 1 et 2 forment une base de $F$ ; $\dim F=2$ .

Base $((1,1,0),(0,1,1))$ , $\dim F=2$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.