En utilisant les propriétés algébriques pour simplifier une expression exponentielle

Simplifier une expression contenant des exponentielles.

L'objectif

Simplifier une expression contenant des exponentielles.

Le principe

On utilise les propriétés : $\mathrm{e}^{a+b} = \mathrm{e}^a \cdot \mathrm{e}^b$ , $\mathrm{e}^{a-b} = \frac{\mathrm{e}^a}{\mathrm{e}^b}$ , $(\mathrm{e}^a)^n = \mathrm{e}^{na}$ , $\mathrm{e}^0 = 1$ .

La méthode

1
Identifier les propriétés algébriques applicables (produit, quotient, puissance).
2
Appliquer les règles pour regrouper les exposants en une seule exponentielle ou séparer selon le besoin.
3
Simplifier l'expression obtenue en réduisant l'exposant.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Simplifier $A = \mathrm{e}^{x-2} \times \mathrm{e}^{3-2x}$ .

Étape 1 —

Identifier les propriétés algébriques applicables (produit, quotient, puissance).

On reconnaît un produit d'exponentielles : on applique $\mathrm{e}^a \cdot \mathrm{e}^b = \mathrm{e}^{a+b}$ .

Étape 2 —

Appliquer les règles pour regrouper les exposants en une seule exponentielle ou séparer selon le besoin.

$A = \mathrm{e}^{(x-2)+(3-2x)} = \mathrm{e}^{x-2+3-2x}$ .

Étape 3 —

Simplifier l'expression obtenue en réduisant l'exposant.

On simplifie l'exposant : $A = \mathrm{e}^{1-x}$ .

$A = \mathrm{e}^{1-x}$

Application guidée

Simplifier $B = \dfrac{\mathrm{e}^{3x-2}}{\mathrm{e}^{x+1}}$ .

Application autonome 1

Simplifier $C = (\mathrm{e}^{2x})^3 \times \mathrm{e}^{-x}$ .

Application autonome 2

Simplifier $D = \dfrac{(\mathrm{e}^x)^2 \cdot \mathrm{e}^{3}}{\mathrm{e}^{2x+1}}$ .

Application autonome 3

Simplifier $E = \dfrac{\mathrm{e}^{3x} \cdot \mathrm{e}^{-x+2}}{(\mathrm{e}^{x+1})^2}$ .

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