En factorisant par une exponentielle commune

Factoriser une expression contenant des sommes ou différences d'exponentielles.

L'objectif

Factoriser une expression contenant des sommes ou différences d'exponentielles.

Le principe

On repère le facteur exponentiel commun et on le met en facteur, en utilisant le fait que $e^x > 0$ pour tout réel $x$ .

La méthode

1
Identifier le terme exponentiel commun à tous les termes de l'expression.
2
Mettre ce facteur en évidence : écrire chaque terme comme le produit du facteur commun par un coefficient.
3
Simplifier l'expression entre parenthèses.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Factoriser $A = e^{2x} + 3e^x$ .

Étape 1 —

Identifier le terme exponentiel commun à tous les termes de l'expression.

Le facteur commun est $e^x$ (plus petit exposant).

Étape 2 —

Mettre ce facteur en évidence : écrire chaque terme comme le produit du facteur commun par un coefficient.

On écrit $e^{2x} = e^x \cdot e^x$ , donc $A = e^x(e^x + 3)$ .

Étape 3 —

Simplifier l'expression entre parenthèses.

L'expression factorisée est $A = e^x(e^x + 3)$ .

$A = e^x(e^x + 3)$

Application guidée

Factoriser $B = 2e^{3x} - e^{2x}$ .

Application autonome 1

Factoriser $C = e^{-x} + e^{-2x}$ .

Application autonome 2

Factoriser $A = x\,\mathrm{e}^{2x} - 4\,\mathrm{e}^{2x}$ .

Application autonome 3

Factoriser $B = \mathrm{e}^{3x+1} + \mathrm{e}^{x+1}$ .

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