En appliquant les règles $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ et $e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$

Simplifier un produit ou un quotient d'exponentielles en une seule exponentielle.

L'objectif

Simplifier un produit ou un quotient d'exponentielles en une seule exponentielle.

Le principe

On utilise $e^a \cdot e^b = e^{a+b}$ pour les produits, $\dfrac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$ pour les quotients, et $e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$ pour les inverses.

La méthode

1
Identifier les exponentielles présentes dans l'expression et repérer les produits, quotients ou inverses.
2
Appliquer les propriétés : $e^a \cdot e^b = e^{a+b}$ , $\dfrac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$ , $e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$ .
3
Simplifier l'exposant obtenu (réduire, factoriser si nécessaire).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Simplifier $A = \mathrm{e}^{2x} \cdot \mathrm{e}^{-3x+1}$ .

Étape 1 —

Identifier les exponentielles présentes dans l'expression et repérer les produits, quotients ou inverses.

On a un produit de deux exponentielles : $\mathrm{e}^{2x}$ et $\mathrm{e}^{-3x+1}$ .

Étape 2 —

Appliquer les propriétés :

e^a \cdot e^b = e^{a+b}

\dfrac{e^a}{e^b} = e^{a-b}

e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}

On applique $\mathrm{e}^a \cdot \mathrm{e}^b = \mathrm{e}^{a+b}$ : $A = \mathrm{e}^{2x + (-3x+1)}$ .

Étape 3 —

Simplifier l'exposant obtenu (réduire, factoriser si nécessaire).

On simplifie l'exposant : $A = \mathrm{e}^{-x+1}$ .

$A = \mathrm{e}^{-x+1}$

Application guidée

Simplifier $B = \dfrac{e^{2x+1}}{e^{x-3}}$ .

Application autonome 1

Simplifier $C = e^{2x} \cdot e^{-x} \cdot e^3$ .

Application autonome 2

Simplifier $D = \dfrac{e^{3x} \cdot e^{-2}}{e^{x+1}}$ .

Application autonome 3

Simplifier $E = \dfrac{\mathrm{e}^{5x} \cdot \mathrm{e}^{-x+1}}{\mathrm{e}^{2x-3}}$ .

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En appliquant les règles ea+b=ea⋅ebe^{a+b} = e^a \cdot e^bea+b=ea⋅eb et e−a=1eae^{-a} = \dfrac{1}{e^a}e−a=ea1​

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant les règles $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ et $e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$