Comment étudier les variations d'une fonction contenant une exponentielle ?

En utilisant la bijectivité de l'exponentielle pour résoudre $\mathrm{e}^{u(x)} = k$

Résoudre une équation de la forme $\mathrm{e}^{u(x)} = k$ .

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $\mathrm{e}^{2x-1} = 5$ .

L'objectif

Résoudre une équation de la forme $\mathrm{e}^{u(x)} = k$ .

Le principe

L'exponentielle est strictement positive, donc si $k \leq 0$ il n'y a pas de solution. Si $k > 0$ , on utilise l'injectivité : $\mathrm{e}^a = \mathrm{e}^b \iff a = b$ .

La méthode

1
Vérifier le signe de $k$ : si $k \leq 0$ , l'équation n'a pas de solution (car $\mathrm{e}^{u(x)} > 0$ ).
2
Si $k > 0$ , écrire $k = \mathrm{e}^{\ln k}$ pour se ramener à $\mathrm{e}^{u(x)} = \mathrm{e}^{\ln k}$ .
3
Par injectivité de l'exponentielle, conclure $u(x) = \ln k$ et résoudre cette équation.
Comment résoudre une équation avec des exponentielles ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Résoudre $\mathrm{e}^{2x-1} = 5$ .

Étape 1 —

Vérifier le signe de

k

: si

k \leq 0

, l'équation n'a pas de solution (car

\mathrm{e}^{u(x)} > 0

).

$5 > 0$ , donc l'équation admet des solutions.

Étape 2 —

Si

k > 0

, écrire

k = \mathrm{e}^{\ln k}

pour se ramener à

\mathrm{e}^{u(x)} = \mathrm{e}^{\ln k}

.

On écrit $\mathrm{e}^{2x-1} = \mathrm{e}^{\ln 5}$ .

Étape 3 —

Par injectivité de l'exponentielle, conclure

u(x) = \ln k

et résoudre cette équation.

Par injectivité : $2x - 1 = \ln 5$ , soit $x = \frac{1 + \ln 5}{2}$ .

$x = \dfrac{1 + \ln 5}{2}$

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