Comment étudier les variations d'une fonction contenant une exponentielle ? | MetMat

Comment étudier les variations d'une fonction contenant une exponentielle ?

En utilisant la croissance de l'exponentielle pour résoudre $\mathrm{e}^{u(x)} \leq \mathrm{e}^{v(x)}$

Résoudre une inéquation du type $\mathrm{e}^{u(x)} \leq \mathrm{e}^{v(x)}$ ou $\mathrm{e}^{u(x)} \leq k$ .

L'objectif

Résoudre une inéquation du type $\mathrm{e}^{u(x)} \leq \mathrm{e}^{v(x)}$ ou $\mathrm{e}^{u(x)} \leq k$ .

Le principe

L'exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , donc $\mathrm{e}^a \leq \mathrm{e}^b \iff a \leq b$ .

La méthode

1
Se ramener à une inéquation de la forme $\mathrm{e}^{u(x)} \leq \mathrm{e}^{v(x)}$ (si un membre est une constante $k > 0$ , l'écrire $\mathrm{e}^{\ln k}$ ).
2
Par stricte croissance de l'exponentielle, simplifier en $u(x) \leq v(x)$ .
3
Résoudre l'inéquation obtenue et exprimer l'ensemble solution.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre $\mathrm{e}^{2x+1} \leq \mathrm{e}^{5}$ .

Étape 1 —

Se ramener à une inéquation de la forme

\mathrm{e}^{u(x)} \leq \mathrm{e}^{v(x)}

(si un membre est une constante

k > 0

, l'écrire

\mathrm{e}^{\ln k}

L'inéquation est déjà sous la forme $\mathrm{e}^{u(x)} \leq \mathrm{e}^{v(x)}$ avec $u(x) = 2x+1$ et $v(x) = 5$ .

Étape 2 —

Par stricte croissance de l'exponentielle, simplifier en

u(x) \leq v(x)

Par croissance de l'exponentielle : $2x + 1 \leq 5$ .

Étape 3 —

Résoudre l'inéquation obtenue et exprimer l'ensemble solution.

$2x \leq 4$ , donc $x \leq 2$ . L'ensemble solution est $]-\infty\,; 2]$ .

$S = ]-\infty\,; 2]$

Application guidée

Résoudre $\mathrm{e}^{-x} > 3$ .

Application autonome 1

Résoudre $\mathrm{e}^{x^2} \geq \mathrm{e}^{4}$ .

Application autonome 2

Résoudre $\mathrm{e}^{3x - 2} < \mathrm{e}^{x + 4}$ .

Application autonome 3

Résoudre $\mathrm{e}^{-2x + 1} \leq 1$ .

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