Comment étudier les variations d'une fonction contenant une exponentielle ? | MetMat

Comment étudier les variations d'une fonction contenant une exponentielle ?

En dérivant, factorisant par $\mathrm{e}^u$ et étudiant le signe du facteur restant

Déterminer les variations d'une fonction contenant une exponentielle.

L'objectif

Déterminer les variations d'une fonction contenant une exponentielle.

Le principe

On dérive, on factorise par $\mathrm{e}^{u(x)}$ (toujours strictement positif), et le signe de $f'$ est celui du facteur restant.

La méthode

1
Calculer $f'(x)$ en utilisant les règles de dérivation (produit, $(\mathrm{e}^u)' = u'\mathrm{e}^u$ ).
Comment dériver une fonction contenant une exponentielle ?Voir
2
Factoriser $f'(x)$ par $\mathrm{e}^{u(x)}$ : on obtient $f'(x) = \mathrm{e}^{u(x)} \cdot g(x)$ .
Comment simplifier une expression contenant des exponentielles ?Voir
3
Comme $\mathrm{e}^{u(x)} > 0$ pour tout $x$ , le signe de $f'(x)$ est celui de $g(x)$ . Étudier le signe de $g(x)$ .
4
Dresser le tableau de variations de $f$ en déduisant les intervalles de croissance et de décroissance.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier les variations de $f(x) = (2x - 1)\,\mathrm{e}^x$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Calculer

f'(x)

en utilisant les règles de dérivation (produit,

(\mathrm{e}^u)' = u'\mathrm{e}^u

On dérive le produit : $f'(x) = 2\,\mathrm{e}^x + (2x-1)\,\mathrm{e}^x$ .

Étape 2 —

Factoriser

f'(x)

par

\mathrm{e}^{u(x)}

: on obtient

f'(x) = \mathrm{e}^{u(x)} \cdot g(x)

On factorise par $\mathrm{e}^x$ : $f'(x) = \mathrm{e}^x(2 + 2x - 1) = \mathrm{e}^x(2x + 1)$ .

Étape 3 —

Comme

\mathrm{e}^{u(x)} > 0

pour tout

x

, le signe de

f'(x)

est celui de

g(x)

. Étudier le signe de

g(x)

$\mathrm{e}^x > 0$ , donc $f'(x)$ est du signe de $2x + 1$ . Or $2x + 1 \geq 0 \iff x \geq -\frac{1}{2}$ .

Étape 4 —

Dresser le tableau de variations de

f

en déduisant les intervalles de croissance et de décroissance.

$f$ est décroissante sur $]-\infty\,; -\frac{1}{2}]$ et croissante sur $[-\frac{1}{2}\,; +\infty[$ . Minimum en $x = -\frac{1}{2}$ .

$f$ admet un minimum en $x = -\dfrac{1}{2}$ , décroissante avant, croissante après.

Application guidée

Étudier les variations de $f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Étudier les variations de $f(x) = (x^2 + 1)\,\mathrm{e}^{-2x}$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 2

Étudier les variations de $f(x) = \mathrm{e}^{x^2 - 4}$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Étudier les variations de $f(x) = (x - 1)\,\mathrm{e}^{-2x}$ sur $\mathbb{R}$ .

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