Comment étudier les variations d'une fonction contenant une exponentielle ?

En dérivant, factorisant par $\mathrm{e}^u$ et étudiant le signe du facteur restant

L'objectif

Déterminer les variations d'une fonction contenant une exponentielle.

Le principe

On dérive, on factorise par $\mathrm{e}^{u(x)}$ (toujours strictement positif), et le signe de $f'$ est celui du facteur restant.

La méthode

1
Calculer $f'(x)$ en utilisant les règles de dérivation (produit, $(\mathrm{e}^u)' = u'\mathrm{e}^u$ ).
Comment dériver une fonction contenant une exponentielle ?Voir
2
Factoriser $f'(x)$ par $\mathrm{e}^{u(x)}$ : on obtient $f'(x) = \mathrm{e}^{u(x)} \cdot g(x)$ .
Comment simplifier une expression contenant des exponentielles ?Voir
3
Comme $\mathrm{e}^{u(x)} > 0$ pour tout $x$ , le signe de $f'(x)$ est celui de $g(x)$ . Étudier le signe de $g(x)$ .
4
Dresser le tableau de variations de $f$ en déduisant les intervalles de croissance et de décroissance.

Difficulté croissante de 1 à 4

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