Comment étudier les variations d'une fonction contenant une exponentielle ?

En dérivant, factorisant par $\mathrm{e}^u$ et étudiant le signe du facteur restant

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier les variations de $f(x) = (2x - 1)\,\mathrm{e}^x$ sur $\mathbb{R}$ .

La méthode

1
Calculer $f'(x)$ en utilisant les règles de dérivation (produit, $(\mathrm{e}^u)' = u'\mathrm{e}^u$ ).
Comment dériver une fonction contenant une exponentielle ?Voir
2
Factoriser $f'(x)$ par $\mathrm{e}^{u(x)}$ : on obtient $f'(x) = \mathrm{e}^{u(x)} \cdot g(x)$ .
Comment simplifier une expression contenant des exponentielles ?Voir
3
Comme $\mathrm{e}^{u(x)} > 0$ pour tout $x$ , le signe de $f'(x)$ est celui de $g(x)$ . Étudier le signe de $g(x)$ .
4
Dresser le tableau de variations de $f$ en déduisant les intervalles de croissance et de décroissance.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Étudier les variations de $f(x) = (2x - 1)\,\mathrm{e}^x$ sur $\mathbb{R}$ .

1

On dérive le produit : $f'(x) = 2\,\mathrm{e}^x + (2x-1)\,\mathrm{e}^x$ .

2

On factorise par $\mathrm{e}^x$ : $f'(x) = \mathrm{e}^x(2 + 2x - 1) = \mathrm{e}^x(2x + 1)$ .

3

$\mathrm{e}^x > 0$ , donc $f'(x)$ est du signe de $2x + 1$ . Or $2x + 1 \geq 0 \iff x \geq -\frac{1}{2}$ .

4

$f$ est décroissante sur $]-\infty\,; -\frac{1}{2}]$ et croissante sur $[-\frac{1}{2}\,; +\infty[$ . Minimum en $x = -\frac{1}{2}$ .

$f$ admet un minimum en $x = -\dfrac{1}{2}$ , décroissante avant, croissante après.

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En dérivant, factorisant par eu\mathrm{e}^ueu et étudiant le signe du facteur restant

Pour comprendre, passons aux exercices.

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