Comment modéliser une croissance… : En faisant le lien avec une suite… — 1re spé maths | MetMat

Comment modéliser une croissance ou décroissance exponentielle ?

En faisant le lien avec une suite géométrique (temps discret vs continu)

Passer d'un modèle discret (suite géométrique) à un modèle continu (exponentielle) et inversement.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Un capital augmente de $5\,\%$ chaque année. Exprimer $C_n$ comme une exponentielle continue.

L'objectif

Passer d'un modèle discret (suite géométrique) à un modèle continu (exponentielle) et inversement.

Le principe

Si $u_n = u_0 \cdot q^n$ avec $q > 0$ , alors $q = \mathrm{e}^{\ln q}$ et $u_n = u_0\,\mathrm{e}^{n \ln q}$ , ce qui donne $k = \ln q$ .

La méthode

1
Identifier la suite géométrique : $u_0$ (terme initial) et $q$ (raison, $q > 0$ ).
2
Écrire $q = \mathrm{e}^{\ln q}$ , de sorte que $u_n = u_0 \cdot q^n = u_0\,\mathrm{e}^{n\ln q}$ . Le paramètre continu est $k = \ln q$ .
3
Interpréter : si $q > 1$ ( $k > 0$ ) c'est une croissance ; si $0 < q < 1$ ( $k < 0$ ) c'est une décroissance.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Un capital augmente de $5\,\%$ chaque année. Exprimer $C_n$ comme une exponentielle continue.

Étape 1 —

Identifier la suite géométrique :

u_0

(terme initial) et

q

(raison,

q > 0

$C_n = C_0 \times 1{,}05^n$ , avec $u_0 = C_0$ et $q = 1{,}05$ .

Étape 2 —

Écrire

q = \mathrm{e}^{\ln q}

, de sorte que

u_n = u_0 \cdot q^n = u_0\,\mathrm{e}^{n\ln q}

. Le paramètre continu est

k = \ln q

$1{,}05 = \mathrm{e}^{\ln(1{,}05)}$ , donc $C_n = C_0\,\mathrm{e}^{n\ln(1{,}05)}$ . Le taux continu est $k = \ln(1{,}05) \approx 0{,}0488$ .

Étape 3 —

Interpréter : si

q > 1

(

k > 0

) c'est une croissance ; si

0 < q < 1

(

k < 0

) c'est une décroissance.

$q = 1{,}05 > 1$ donc $k > 0$ : c'est bien une croissance exponentielle.

$C_n = C_0\,\mathrm{e}^{n\ln(1{,}05)}$ avec $k = \ln(1{,}05) \approx 0{,}049$

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.