Comment modéliser une croissance… : En traçant les courbes de t mapsto e^ kt… — 1re spé maths | MetMat

Comment modéliser une croissance ou décroissance exponentielle ?

En traçant les courbes de $t \mapsto \mathrm{e}^{kt}$ et $t \mapsto \mathrm{e}^{-kt}$ pour $k > 0$

Tracer et interpréter les courbes de $t \mapsto \mathrm{e}^{kt}$ et $t \mapsto \mathrm{e}^{-kt}$ pour $k > 0$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Tracer l'allure de $f(t) = \mathrm{e}^{2t}$ et $g(t) = \mathrm{e}^{0{,}5t}$ sur un même repère.

L'objectif

Tracer et interpréter les courbes de $t \mapsto \mathrm{e}^{kt}$ et $t \mapsto \mathrm{e}^{-kt}$ pour $k > 0$ .

Le principe

Pour $k > 0$ : $\mathrm{e}^{kt}$ est croissante (croissance exponentielle) et $\mathrm{e}^{-kt}$ est décroissante (décroissance exponentielle). Plus $|k|$ est grand, plus la courbe évolue vite.

La méthode

1
Identifier le signe de l'exposant : $kt$ (croissance) ou $-kt$ (décroissance), avec $k > 0$ .
2
Calculer quelques valeurs clés : $f(0) = 1$ , puis $f$ en $1$ , $2$ ou $-1$ pour avoir des points de repère.
3
Tracer la courbe : passe par $(0\,; 1)$ , asymptote horizontale $y = 0$ du côté où la fonction tend vers $0$ .
4
Interpréter l'effet de $k$ : plus $k$ est grand, plus la croissance (ou décroissance) est rapide.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Tracer l'allure de $f(t) = \mathrm{e}^{2t}$ et $g(t) = \mathrm{e}^{0{,}5t}$ sur un même repère.

Étape 1 —

Identifier le signe de l'exposant :

kt

(croissance) ou

-kt

(décroissance), avec

k > 0

Les deux exposants sont positifs : $2t$ et $0{,}5t$ . Ce sont des croissances exponentielles.

Étape 2 —

Calculer quelques valeurs clés :

f(0) = 1

, puis

f

1

2

-1

pour avoir des points de repère.

$f(0) = g(0) = 1$ . $f(1) = \mathrm{e}^2 \approx 7{,}39$ , $g(1) = \mathrm{e}^{0{,}5} \approx 1{,}65$ . $f(2) \approx 54{,}6$ , $g(2) \approx 2{,}72$ .

Étape 3 —

Tracer la courbe : passe par

(0\,; 1)

, asymptote horizontale

y = 0

du côté où la fonction tend vers

0

Les deux courbes passent par $(0\,; 1)$ et ont une asymptote $y = 0$ en $-\infty$ .

Étape 4 —

Interpréter l'effet de

k

: plus

k

est grand, plus la croissance (ou décroissance) est rapide.

$k = 2 > 0{,}5$ donc $f$ croît beaucoup plus vite que $g$ : la courbe de $f$ est au-dessus de celle de $g$ pour $t > 0$ .

Les deux courbes passent par $(0\,; 1)$ , sont croissantes, mais $\mathrm{e}^{2t}$ croît bien plus vite que $\mathrm{e}^{0{,}5t}$ .

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Comment modéliser une croissance ou décroissance exponentielle ?

En traçant les courbes de t↦ektt \mapsto \mathrm{e}^{kt}t↦ekt et t↦e−ktt \mapsto \mathrm{e}^{-kt}t↦e−kt pour k>0k > 0k>0

Pour comprendre, fais des exercices !

En traçant les courbes de $t \mapsto \mathrm{e}^{kt}$ et $t \mapsto \mathrm{e}^{-kt}$ pour $k > 0$