Comment modéliser une croissance… : En identifiant le modèle f(t) = A e^ kt à… — 1re spé maths | MetMat

Comment modéliser une croissance ou décroissance exponentielle ?

En identifiant le modèle $f(t) = A\,\mathrm{e}^{kt}$ à partir du contexte

Déterminer les constantes $A$ et $k$ et exploiter le modèle $f(t) = A\,\mathrm{e}^{kt}$ pour répondre à un problème concret.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Un capital de $1\,000$ \euro{} est placé à un taux de $3\,\%$ annuel en continu. Modéliser le capital $C(t)$ après $t$ années et calculer $C(10)$ .

L'objectif

Déterminer les constantes $A$ et $k$ et exploiter le modèle $f(t) = A\,\mathrm{e}^{kt}$ pour répondre à un problème concret.

Le principe

$A = f(0)$ est la valeur initiale. Si $k > 0$ , c'est une croissance exponentielle ; si $k < 0$ , une décroissance.

La méthode

1
Identifier la grandeur $f(t)$ et la valeur initiale $A = f(0)$ .
2
Utiliser une deuxième condition (valeur de $f$ en un instant $t_1$ ) pour déterminer $k$ en résolvant $A\,\mathrm{e}^{kt_1} = f(t_1)$ .
3
Écrire le modèle complet $f(t) = A\,\mathrm{e}^{kt}$ et l'utiliser pour répondre aux questions (prévisions, temps pour atteindre un seuil, etc.).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Un capital de $1\,000$ \euro{} est placé à un taux de $3\,\%$ annuel en continu. Modéliser le capital $C(t)$ après $t$ années et calculer $C(10)$ .

Étape 1 —

Identifier la grandeur

f(t)

et la valeur initiale

A = f(0)

$C(0) = 1\,000$ , donc $A = 1\,000$ .

Étape 2 —

Utiliser une deuxième condition (valeur de

f

en un instant

t_1

) pour déterminer

k

en résolvant

A\,\mathrm{e}^{kt_1} = f(t_1)

Le taux continu est $k = 0{,}03$ , donc $C(t) = 1\,000\,\mathrm{e}^{0{,}03t}$ .

Étape 3 —

Écrire le modèle complet

f(t) = A\,\mathrm{e}^{kt}

et l'utiliser pour répondre aux questions (prévisions, temps pour atteindre un seuil, etc.).

$C(10) = 1\,000\,\mathrm{e}^{0{,}3} \approx 1\,349{,}86$ \euro{}.

$C(t) = 1\,000\,\mathrm{e}^{0{,}03t}$ et $C(10) \approx 1\,349{,}86$ \euro{}

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Comment modéliser une croissance ou décroissance exponentielle ?

En identifiant le modèle f(t)=A ektf(t) = A\,\mathrm{e}^{kt}f(t)=Aekt à partir du contexte

Pour comprendre, fais des exercices !

En identifiant le modèle $f(t) = A\,\mathrm{e}^{kt}$ à partir du contexte