Comment résoudre une inéquation avec des exponentielles ?

En posant $X = e^x$ (avec $X > 0$ )

Résoudre une inéquation polynomiale en $e^x$ par changement de variable.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $e^{2x} - 3e^x + 2 \leq 0$ .

L'objectif

Résoudre une inéquation polynomiale en $e^x$ par changement de variable.

Le principe

On pose $X = e^x$ (avec $X > 0$ ), on résout l'inéquation polynomiale en $X$ , puis on revient à $x$ en utilisant la croissance de l'exponentielle.

La méthode

1
Repérer la forme polynomiale en $e^x$ . Poser $X = e^x$ avec $X > 0$ et réécrire l'inéquation.
2
Résoudre l'inéquation en $X$ (tableau de signes si nécessaire) et intersecter avec $X > 0$ .
3
Revenir à $x$ : $e^x \leq a \Leftrightarrow x \leq \ln(a)$ et $e^x \geq a \Leftrightarrow x \geq \ln(a)$ (pour $a > 0$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Résoudre $e^{2x} - 3e^x + 2 \leq 0$ .

Étape 1 —

Repérer la forme polynomiale en

e^x

. Poser

X = e^x

avec

X > 0

et réécrire l'inéquation.

On pose $X = e^x$ avec $X > 0$ . L'inéquation devient $X^2 - 3X + 2 \leq 0$ .

Étape 2 —

Résoudre l'inéquation en

X

(tableau de signes si nécessaire) et intersecter avec

X > 0

.

On factorise : $(X-1)(X-2) \leq 0$ . Par tableau de signes : $1 \leq X \leq 2$ . Cette condition est compatible avec $X > 0$ .

Étape 3 —

Revenir à

x

:

e^x \leq a \Leftrightarrow x \leq \ln(a)

et

e^x \geq a \Leftrightarrow x \geq \ln(a)

(pour

a > 0

).

On revient à $x$ : $1 \leq e^x \leq 2$ , soit $\ln(1) \leq x \leq \ln(2)$ , c'est-à-dire $0 \leq x \leq \ln(2)$ .

$S = [0 ; \ln(2)]$

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Comment résoudre une inéquation avec des exponentielles ?

En posant X=exX = e^xX=ex (avec X>0X > 0X>0)

Pour comprendre, fais des exercices !

En posant $X = e^x$ (avec $X > 0$ )