Comment résoudre une inéquation avec des exponentielles ?

En utilisant la croissance stricte de l'exponentielle

Résoudre une inéquation de la forme $e^{f(x)} \leq e^{g(x)}$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $e^{2x-3} \leq e^{x+1}$ .

L'objectif

Résoudre une inéquation de la forme $e^{f(x)} \leq e^{g(x)}$ .

Le principe

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , donc $e^A \leq e^B \Leftrightarrow A \leq B$ (idem avec $<$ , $\geq$ , $>$ ).

La méthode

1
Transformer l'inéquation pour avoir une exponentielle de chaque côté.
2
Appliquer la croissance stricte : $e^{f(x)} \leq e^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) \leq g(x)$ (le sens de l'inégalité est conservé).
3
Résoudre l'inéquation obtenue sur les exposants.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Résoudre $e^{2x-3} \leq e^{x+1}$ .

Étape 1 —

Transformer l'inéquation pour avoir une exponentielle de chaque côté.

L'inéquation est déjà sous la forme $e^A \leq e^B$ avec $A = 2x-3$ et $B = x+1$ .

Étape 2 —

Appliquer la croissance stricte :

e^{f(x)} \leq e^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) \leq g(x)

(le sens de l'inégalité est conservé).

Par croissance stricte de l'exponentielle : $2x - 3 \leq x + 1$ .

Étape 3 —

Résoudre l'inéquation obtenue sur les exposants.

On résout : $x \leq 4$ .

$S = ]-\infty ; 4]$

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