Comment résoudre une inéquation… : En étudiant le signe d'une expression… — 1re spé maths | MetMat

Comment résoudre une inéquation avec des exponentielles ?

En étudiant le signe d'une expression factorisée avec exponentielle

Déterminer le signe d'une expression factorisée contenant une exponentielle.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $(3 - x)e^x \geq 0$ .

L'objectif

Déterminer le signe d'une expression factorisée contenant une exponentielle.

Le principe

On factorise l'expression, puis on étudie le signe de chaque facteur. Le facteur $e^{f(x)}$ est toujours strictement positif, ce qui simplifie le tableau de signes.

La méthode

1
Passer tous les termes du même côté et factoriser l'expression (en faisant apparaître un facteur exponentiel).
2
Dresser le tableau de signes : le facteur $e^{f(x)}$ est toujours $> 0$ , donc seuls les autres facteurs déterminent le signe.
3
Conclure en lisant le tableau de signes selon l'inégalité demandée.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Résoudre $(3 - x)e^x \geq 0$ .

Étape 1 —

Passer tous les termes du même côté et factoriser l'expression (en faisant apparaître un facteur exponentiel).

L'expression est déjà factorisée : $(3 - x) \cdot e^x$ .

Étape 2 —

Dresser le tableau de signes : le facteur

e^{f(x)}

est toujours

> 0

, donc seuls les autres facteurs déterminent le signe.

$e^x > 0$ pour tout $x$ . Le signe de l'expression dépend donc uniquement de $(3 - x)$ : $3 - x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 3$ .

Étape 3 —

Conclure en lisant le tableau de signes selon l'inégalité demandée.

L'inéquation est vérifiée pour $x \leq 3$ .

$S = ]-\infty ; 3]$

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