Comment résoudre une équation avec des exponentielles ?

En utilisant $e^A = k$ avec $k > 0$

Résoudre une équation de la forme $e^{f(x)} = k$ où $k$ est une constante.

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Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $e^{2x} = 7$ .

L'objectif

Résoudre une équation de la forme $e^{f(x)} = k$ où $k$ est une constante.

Le principe

Si $k > 0$ , alors $e^{f(x)} = k \Leftrightarrow f(x) = \ln(k)$ . Si $k \leq 0$ , l'équation n'a pas de solution car $e^x > 0$ .

La méthode

1
Isoler l'exponentielle d'un côté de l'équation pour obtenir $e^{f(x)} = k$ .
2
Vérifier le signe de $k$ : si $k \leq 0$ , aucune solution. Si $k > 0$ , passer à l'étape 3.
3
Résoudre $f(x) = \ln(k)$ (noter que si $k = e^a$ , on écrit directement $f(x) = a$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Résoudre $e^{2x} = 7$ .

Étape 1 —

Isoler l'exponentielle d'un côté de l'équation pour obtenir

e^{f(x)} = k

.

L'exponentielle est déjà isolée : $e^{2x} = 7$ .

Étape 2 —

Vérifier le signe de

k

: si

k \leq 0

, aucune solution. Si

k > 0

, passer à l'étape 3.

$7 > 0$ , donc l'équation admet une solution.

Étape 3 —

Résoudre

f(x) = \ln(k)

(noter que si

k = e^a

, on écrit directement

f(x) = a

).

On obtient $2x = \ln(7)$ , soit $x = \dfrac{\ln(7)}{2}$ .

$S = \left\{\dfrac{\ln(7)}{2}\right\}$

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