En se ramenant à $e^A = e^B \Leftrightarrow A = B$

Résoudre une équation de la forme $e^{f(x)} = e^{g(x)}$ .

L'objectif

Résoudre une équation de la forme $e^{f(x)} = e^{g(x)}$ .

Le principe

La fonction exponentielle est strictement croissante, donc injective : $e^A = e^B \Leftrightarrow A = B$ .

La méthode

1
Transformer l'équation pour obtenir une exponentielle de chaque côté du signe $=$ .
2
Appliquer l'injectivité : $e^{f(x)} = e^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x)$ .
3
Résoudre l'équation obtenue sur les exposants.

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Exercice d'exemple

Résoudre $e^{2x+1} = e^{5}$ .

Étape 1 —

Transformer l'équation pour obtenir une exponentielle de chaque côté du signe

=

L'équation est déjà sous la forme $e^A = e^B$ avec $A = 2x+1$ et $B = 5$ .

Étape 2 —

Appliquer l'injectivité :

e^{f(x)} = e^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x)

Par injectivité de l'exponentielle : $2x + 1 = 5$ .

Étape 3 —

Résoudre l'équation obtenue sur les exposants.

On résout : $2x = 4$ , soit $x = 2$ .

$S = \{2\}$

Application guidée

Résoudre $e^{x^2} = e^{4}$ .

Application autonome 1

Résoudre $e^{3x-1} = e^{x+5}$ .

Application autonome 2

Résoudre $e^{2x} \cdot e^3 = e^{x+7}$ .

Application autonome 3

Résoudre $\mathrm{e}^{x^2 - 2x} = \mathrm{e}^{3}$ .

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