En utilisant $e^A = k$ avec $k > 0$

Résoudre une équation de la forme $e^{f(x)} = k$ où $k$ est une constante.

L'objectif

Résoudre une équation de la forme $e^{f(x)} = k$ où $k$ est une constante.

Le principe

Si $k > 0$ , alors $e^{f(x)} = k \Leftrightarrow f(x) = \ln(k)$ . Si $k \leq 0$ , l'équation n'a pas de solution car $e^x > 0$ .

La méthode

1
Isoler l'exponentielle d'un côté de l'équation pour obtenir $e^{f(x)} = k$ .
2
Vérifier le signe de $k$ : si $k \leq 0$ , aucune solution. Si $k > 0$ , passer à l'étape 3.
3
Résoudre $f(x) = \ln(k)$ (noter que si $k = e^a$ , on écrit directement $f(x) = a$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Résoudre $e^{2x} = 7$ .

Étape 1 —

Isoler l'exponentielle d'un côté de l'équation pour obtenir

e^{f(x)} = k

L'exponentielle est déjà isolée : $e^{2x} = 7$ .

Étape 2 —

Vérifier le signe de

k

: si

k \leq 0

, aucune solution. Si

k > 0

, passer à l'étape 3.

$7 > 0$ , donc l'équation admet une solution.

Étape 3 —

Résoudre

f(x) = \ln(k)

(noter que si

k = e^a

, on écrit directement

f(x) = a

On obtient $2x = \ln(7)$ , soit $x = \dfrac{\ln(7)}{2}$ .

$S = \left\{\dfrac{\ln(7)}{2}\right\}$

Application guidée

Résoudre $3e^{x-1} = 15$ .

Application autonome 1

Résoudre $e^x = -3$ .

Application autonome 2

Résoudre $2e^{3x} + 1 = 9$ .

Application autonome 3

Résoudre $5\,\mathrm{e}^{-x} - 2 = 3$ .

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices