En posant $X = e^x$ pour une équation polynomiale en exponentielle

Résoudre une équation polynomiale en $e^x$ par changement de variable.

L'objectif

Résoudre une équation polynomiale en $e^x$ par changement de variable.

Le principe

On pose $X = e^x$ (avec $X > 0$ ), on résout l'équation polynomiale en $X$ , puis on revient à $x$ par $x = \ln(X)$ .

La méthode

1
Repérer que l'équation est polynomiale en $e^x$ (par exemple $e^{2x} = (e^x)^2$ ). Poser $X = e^x$ avec la condition $X > 0$ .
2
Réécrire l'équation en fonction de $X$ et la résoudre (équation du 1er ou 2nd degré).
3
Ne conserver que les solutions $X > 0$ , puis revenir à $x$ : $x = \ln(X)$ pour chaque solution admissible.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ .

Étape 1 —

Repérer que l'équation est polynomiale en

e^x

(par exemple

e^{2x} = (e^x)^2

). Poser

X = e^x

avec la condition

X > 0

On a $e^{2x} = (e^x)^2$ . On pose $X = e^x$ avec $X > 0$ . L'équation devient $X^2 - 3X + 2 = 0$ .

Étape 2 —

Réécrire l'équation en fonction de

X

et la résoudre (équation du 1er ou 2nd degré).

On résout : $\Delta = 9 - 8 = 1$ , donc $X = \dfrac{3 \pm 1}{2}$ , soit $X = 2$ ou $X = 1$ .

Étape 3 —

Ne conserver que les solutions

X > 0

, puis revenir à

x

x = \ln(X)

pour chaque solution admissible.

Les deux solutions sont strictement positives. $X = 2 \Rightarrow x = \ln(2)$ et $X = 1 \Rightarrow x = \ln(1) = 0$ .

$S = \{0 ; \ln(2)\}$

Application guidée

Résoudre $e^{2x} + e^x - 6 = 0$ .

Application autonome 1

Résoudre $2e^{2x} - 5e^x + 2 = 0$ .

Application autonome 2

Résoudre $e^{2x} = 4e^x$ .

Application autonome 3

Résoudre $e^{2x} - e^x - 12 = 0$ .

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