Comment dériver une fonction contenant une exponentielle ?

En appliquant $(\mathrm{e}^u)' = u' \cdot \mathrm{e}^u$ avec $u$ quelconque

Calculer la dérivée de $\mathrm{e}^{u(x)}$ lorsque $u$ n'est pas une fonction affine.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer la dérivée de $f(x) = \mathrm{e}^{x^2}$ .

L'objectif

Calculer la dérivée de $\mathrm{e}^{u(x)}$ lorsque $u$ n'est pas une fonction affine.

Le principe

On identifie $u(x)$ , on calcule $u'(x)$ , puis on applique $(\mathrm{e}^u)' = u' \cdot \mathrm{e}^u$ .

La méthode

1
Identifier $u(x)$ dans l'expression $\mathrm{e}^{u(x)}$ et calculer $u'(x)$ .
2
Appliquer $(\mathrm{e}^u)' = u' \cdot \mathrm{e}^u$ .
3
Simplifier l'expression obtenue si possible (factoriser, réduire).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer la dérivée de $f(x) = \mathrm{e}^{x^2}$ .

Étape 1 —

Identifier

u(x)

dans l'expression

\mathrm{e}^{u(x)}

et calculer

u'(x)

.

On identifie $u(x) = x^2$ , donc $u'(x) = 2x$ .

Étape 2 —

Appliquer

(\mathrm{e}^u)' = u' \cdot \mathrm{e}^u

.

On applique la formule : $f'(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x^2}$ .

Étape 3 —

Simplifier l'expression obtenue si possible (factoriser, réduire).

L'expression est déjà simplifiée.

$f'(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x^2}$

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Comment dériver une fonction contenant une exponentielle ?

En appliquant (eu)′=u′⋅eu(\mathrm{e}^u)' = u' \cdot \mathrm{e}^u(eu)′=u′⋅eu avec uuu quelconque

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $(\mathrm{e}^u)' = u' \cdot \mathrm{e}^u$ avec $u$ quelconque