Comment dériver une fonction contenant une exponentielle ?

En appliquant $(\mathrm{e}^u)' = u' \cdot \mathrm{e}^u$ avec $u$ affine

Calculer la dérivée d'une fonction contenant $\mathrm{e}^{ax+b}$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer la dérivée de $f(x) = \mathrm{e}^{3x+1}$ .

L'objectif

Calculer la dérivée d'une fonction contenant $\mathrm{e}^{ax+b}$ .

Le principe

On identifie $u(x)$ dans $\mathrm{e}^{u(x)}$ et on applique $(\mathrm{e}^u)' = u' \cdot \mathrm{e}^u$ .

La méthode

1
Identifier la fonction $u(x)$ telle que $f$ contient $\mathrm{e}^{u(x)}$ et calculer $u'(x)$ .
2
Appliquer la formule : $(\mathrm{e}^{u})' = u' \cdot \mathrm{e}^{u}$ .
3
Si $f$ est un produit ou un quotient, combiner avec la règle correspondante puis simplifier.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer la dérivée de $f(x) = \mathrm{e}^{3x+1}$ .

Étape 1 —

Identifier la fonction

u(x)

telle que

f

contient

\mathrm{e}^{u(x)}

et calculer

u'(x)

.

On identifie $u(x) = 3x + 1$ , donc $u'(x) = 3$ .

Étape 2 —

Appliquer la formule :

(\mathrm{e}^{u})' = u' \cdot \mathrm{e}^{u}

.

On applique la formule : $f'(x) = 3\,\mathrm{e}^{3x+1}$ .

Étape 3 —

Si

f

est un produit ou un quotient, combiner avec la règle correspondante puis simplifier.

Il n'y a pas de produit ni de quotient, l'expression est déjà simplifiée.

$f'(x) = 3\,\mathrm{e}^{3x+1}$

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Comment dériver une fonction contenant une exponentielle ?

En appliquant (eu)′=u′⋅eu(\mathrm{e}^u)' = u' \cdot \mathrm{e}^u(eu)′=u′⋅eu avec uuu affine

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $(\mathrm{e}^u)' = u' \cdot \mathrm{e}^u$ avec $u$ affine