Comment calculer l'espérance et… : En appliquant E(M_n) = mu, V(M_n) = V n… — Tle spé maths | MetMat

Comment calculer l'espérance et la variance de la moyenne $M_n$ d'un échantillon ?

En appliquant $E(M_n) = \mu$ , $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$ , $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (l'écart-type est divisé par $\sqrt{n}$ )

Calculer $E(M_n)$ , $V(M_n)$ et $\sigma(M_n)$ pour la moyenne empirique d'un échantillon de taille $n$ , et comprendre que l'écart-type de $M_n$ est divisé par $\sqrt{n}$ par rapport à celui de la population.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Une variable aléatoire $X$ suit une loi de moyenne $\mu = 10$ et d'écart-type $\sigma = 6$ . On prélève un échantillon de taille $n = 9$ . Calculer $E(M_9)$ , $V(M_9)$ et $\sigma(M_9)$ .

L'objectif

Le principe

Si $X_1, \ldots, X_n$ sont i.i.d. de même espérance $\mu$ et variance $V$ , alors $M_n = \frac{1}{n}\sum X_i$ vérifie $E(M_n) = \mu$ , $V(M_n) = \frac{V}{n}$ et $\sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ : augmenter la taille de l'échantillon concentre la moyenne autour de $\mu$ .

La méthode

1
Identifier les paramètres de la population : espérance $\mu = E(X_i)$ , variance $V = V(X_i)$ , écart-type $\sigma = \sqrt{V}$ .
2
Écrire $M_n = \frac{1}{n}(X_1 + \cdots + X_n)$ et appliquer la linéarité de l'espérance : $E(M_n) = \frac{1}{n} \cdot nE(X_i) = \mu$ .
Comment calculer l'espérance d'une somme de variables aléatoires par linéarité ?Voir
3
Appliquer l'additivité de la variance (variables indépendantes) puis $V(aX) = a^2 V(X)$ : $V(M_n) = \frac{1}{n^2} \cdot nV(X_i) = \frac{V}{n}$ .
Comment calculer la variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes ?Voir
4
En déduire l'écart-type : $\sigma(M_n) = \sqrt{\frac{V}{n}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ . Interpréter : si $n$ est multiplié par $4$ , l'écart-type est divisé par $2$ .
Comment calculer la variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Une variable aléatoire $X$ suit une loi de moyenne $\mu = 10$ et d'écart-type $\sigma = 6$ . On prélève un échantillon de taille $n = 9$ . Calculer $E(M_9)$ , $V(M_9)$ et $\sigma(M_9)$ .

Étape 1 —

Identifier les paramètres de la population : espérance

\mu = E(X_i)

, variance

V = V(X_i)

, écart-type

\sigma = \sqrt{V}

Les paramètres de la population sont $\mu = 10$ , $\sigma = 6$ , donc $V = \sigma^2 = 36$ .

Étape 2 —

Écrire

M_n = \frac{1}{n}(X_1 + \cdots + X_n)

et appliquer la linéarité de l'espérance :

E(M_n) = \frac{1}{n} \cdot nE(X_i) = \mu

$E(M_9) = \mu = 10$ .

Étape 3 —

Appliquer l'additivité de la variance (variables indépendantes) puis

V(aX) = a^2 V(X)

V(M_n) = \frac{1}{n^2} \cdot nV(X_i) = \frac{V}{n}

$V(M_9) = \frac{V}{n} = \frac{36}{9} = 4$ .

Étape 4 —

En déduire l'écart-type :

\sigma(M_n) = \sqrt{\frac{V}{n}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

. Interpréter : si

n

est multiplié par

4

, l'écart-type est divisé par

2

$\sigma(M_9) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{6}{\sqrt{9}} = \frac{6}{3} = 2$ . L'écart-type a été divisé par $3 = \sqrt{9}$ .

$E(M_9) = 10$ , $V(M_9) = 4$ , $\sigma(M_9) = 2$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment calculer l'espérance et la variance de la moyenne MnM_nMn​ d'un échantillon ?

En appliquant E(Mn)=μE(M_n) = \muE(Mn​)=μ, V(Mn)=VnV(M_n) = \dfrac{V}{n}V(Mn​)=nV​, σ(Mn)=σn\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}σ(Mn​)=n​σ​ (l'écart-type est divisé par n\sqrt{n}n​)

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment calculer l'espérance et la variance de la moyenne $M_n$ d'un échantillon ?

En appliquant $E(M_n) = \mu$ , $V(M_n) = \dfrac{V}{n}$ , $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (l'écart-type est divisé par $\sqrt{n}$ )