Comment résoudre une équation ou inéquation faisant intervenir $\ln$ ou $\exp$ ?

En utilisant les fonctions réciproques : $e^{\ln x} = x$ et $\ln(e^x) = x$ pour isoler l'inconnue

Isoler l'inconnue en appliquant $\exp$ à une équation avec $\ln$ , ou $\ln$ à une équation avec $\exp$ .

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $\ln x = -3$ .

L'objectif

Isoler l'inconnue en appliquant $\exp$ à une équation avec $\ln$ , ou $\ln$ à une équation avec $\exp$ .

Le principe

$\ln$ et $\exp$ sont des fonctions réciproques l'une de l'autre : $e^{\ln x} = x$ pour $x > 0$ et $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

La méthode

1
Isoler $\ln(x)$ ou $e^x$ seul d'un côté de l'équation en effectuant des opérations algébriques.
2
Si l'inconnue est dans un $\ln$ , appliquer $\exp$ des deux membres pour obtenir $x = e^{\text{second membre}}$ . Si l'inconnue est dans un $\exp$ , appliquer $\ln$ des deux membres.
3
Vérifier les conditions d'existence (domaine de $\ln$ : argument strictement positif) et que la solution appartient au domaine.
4
Écrire l'ensemble solution.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Résoudre $\ln x = -3$ .

Étape 1 —

Isoler

\ln(x)

ou

e^x

seul d'un côté de l'équation en effectuant des opérations algébriques.

$\ln x$ est déjà isolé : $\ln x = -3$ .

Étape 2 —

Si l'inconnue est dans un

\ln

, appliquer

\exp

des deux membres pour obtenir

x = e^{\text{second membre}}

. Si l'inconnue est dans un

\exp

, appliquer

\ln

des deux membres.

On applique $\exp$ à chaque membre : $e^{\ln x} = e^{-3}$ , soit $x = e^{-3}$ .

Étape 3 —

Vérifier les conditions d'existence (domaine de

\ln

: argument strictement positif) et que la solution appartient au domaine.

$x = e^{-3} > 0$ : la condition d'existence est vérifiée.

Étape 4 —

Écrire l'ensemble solution.

$\mathcal{S} = \{e^{-3}\}$ .

$\mathcal{S} = \{e^{-3}\}$

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