Comment lever une forme… : Pour une FI 0 0 ou ∞ ∞ : en factorisant… — Tle spé maths | MetMat

Comment lever une forme indéterminée pour calculer une limite ?

Pour une FI $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ : en factorisant et simplifiant, ou en divisant numérateur et dénominateur par le terme dominant

Lever une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ dans un quotient.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ .

L'objectif

Lever une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ dans un quotient.

Le principe

Pour $\frac{0}{0}$ , on factorise numérateur et dénominateur par un facteur commun pour le simplifier ; pour $\frac{\infty}{\infty}$ , on divise numérateur et dénominateur par le terme de plus haute puissance (terme dominant).

La méthode

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Identifier la forme indéterminée : calculer les limites du numérateur et du dénominateur séparément.
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Pour $\frac{0}{0}$ : factoriser numérateur et dénominateur (chercher la racine commune, utiliser l'identité remarquable ou la factorisation par $(x - a)$ ), puis simplifier le facteur commun.
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Pour $\frac{\infty}{\infty}$ : diviser numérateur et dénominateur par le terme dominant (plus haut degré pour les polynômes, terme $e^{ax}$ le plus rapide pour les exponentielles).
Comment factoriser par le terme prépondérant pour calculer une limite en $\pm\infty$ ?Voir
4
Calculer la limite de l'expression simplifiée, en vérifiant qu'il n'y a plus de forme indéterminée, et conclure.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ .

Étape 1 —

Identifier la forme indéterminée : calculer les limites du numérateur et du dénominateur séparément.

En $x = 1$ : numérateur $= 0$ et dénominateur $= 0$ : forme indéterminée $\frac{0}{0}$ .

Étape 2 —

Pour

\frac{0}{0}

: factoriser numérateur et dénominateur (chercher la racine commune, utiliser l'identité remarquable ou la factorisation par

(x - a)

), puis simplifier le facteur commun.

On factorise le numérateur : $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ . On simplifie le facteur $(x-1)$ (valable pour $x \neq 1$ ) : $\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1$ .

Étape 3 —

Pour

\frac{\infty}{\infty}

: diviser numérateur et dénominateur par le terme dominant (plus haut degré pour les polynômes, terme

e^{ax}

le plus rapide pour les exponentielles).

On obtient l'expression simplifiée $x + 1$ , sans forme indéterminée.

Étape 4 —

Calculer la limite de l'expression simplifiée, en vérifiant qu'il n'y a plus de forme indéterminée, et conclure.

$\lim_{x \to 1} (x+1) = 2$ .

$\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1} = 2$

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Comment lever une forme indéterminée pour calculer une limite ?

Pour une FI 00\frac{0}{0}00​ ou ∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞​ : en factorisant et simplifiant, ou en divisant numérateur et dénominateur par le terme dominant

Pour comprendre, fais des exercices !

Pour une FI $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ : en factorisant et simplifiant, ou en divisant numérateur et dénominateur par le terme dominant