Comment utiliser les matrices pour représenter une transformation géométrique du plan ?

En composant deux transformations géométriques par multiplication matricielle $M_2 M_1$ (la transformation $T_1$ s'applique en premier)

Calculer l'image d'un point par la composition de deux transformations géométriques en utilisant le produit de leurs matrices.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On applique d'abord une rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ , puis une symétrie d'axe $Ox$ . Trouver l'image de $A(1, 0)$ .

L'objectif

Calculer l'image d'un point par la composition de deux transformations géométriques en utilisant le produit de leurs matrices.

Le principe

La matrice de la transformation composée $T_2 \circ T_1$ est $M_2 M_1$ (ordre inverse de l'application) ; le produit matriciel est non commutatif, donc l'ordre compte.

La méthode

1
Écrire la matrice $M_1$ de la première transformation $T_1$ et la matrice $M_2$ de la seconde transformation $T_2$ .
2
Calculer le produit $M = M_2 M_1$ (la transformation appliquée en premier est à droite).
3
Calculer l'image du point en effectuant $M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = M_2 M_1 \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On applique d'abord une rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ , puis une symétrie d'axe $Ox$ . Trouver l'image de $A(1, 0)$ .

Étape 1 —

Écrire la matrice

M_1

de la première transformation

T_1

et la matrice

M_2

de la seconde transformation

T_2

.

$M_1 = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ (rotation $\frac{\pi}{2}$ ), $M_2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$ (symétrie $Ox$ ).

Étape 2 —

Calculer le produit

M = M_2 M_1

(la transformation appliquée en premier est à droite).

$M = M_2 M_1 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Calculer l'image du point en effectuant

M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = M_2 M_1 \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

.

$M\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}$ . L'image de $A(1,0)$ est $A'(0,-1)$ .

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Comment utiliser les matrices pour représenter une transformation géométrique du plan ?

En composant deux transformations géométriques par multiplication matricielle M2M1M_2 M_1M2​M1​ (la transformation T1T_1T1​ s'applique en premier)

Pour comprendre, fais des exercices !

En composant deux transformations géométriques par multiplication matricielle $M_2 M_1$ (la transformation $T_1$ s'applique en premier)