Comment utiliser les matrices pour représenter une transformation géométrique du plan ?
En associant à la transformation une matrice de taille et en calculant l'image du vecteur $$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$ par M $$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$
L'objectif
Trouver l'image d'un point ou d'un vecteur par une transformation géométrique représentée par une matrice .
Le principe
Toute transformation géométrique linéaire du plan est entièrement déterminée par sa matrice : l'image de
$$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$est M $$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$ .
La méthode
- 1Identifier la transformation et écrire sa matrice : pour une rotation d'angle , M = $$\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$$ ; pour une symétrie par rapport à l'axe , M = $$\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$$ ; pour une homothétie de rapport , M = $$\begin{pmatrix}k & 0 \\ 0 & k\end{pmatrix}$$ .
- 2Calculer le produit M $$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$ pour obtenir les coordonnées de l'image.
Exemple corrigé
Difficulté croissante de 1 à 5
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