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Comment utiliser les matrices pour représenter une transformation géométrique du plan ?

En associant à la transformation une matrice $M$ de taille $2 \times 2$ et en calculant l'image du vecteur $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ par $M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

Trouver l'image d'un point ou d'un vecteur par une transformation géométrique représentée par une matrice $2 \times 2$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Trouver l'image du point $A(3, 1)$ par la rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ centrée à l'origine.

L'objectif

Trouver l'image d'un point ou d'un vecteur par une transformation géométrique représentée par une matrice $2 \times 2$ .

Le principe

Toute transformation géométrique linéaire du plan est entièrement déterminée par sa matrice $M$ : l'image de $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ est $M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ .

La méthode

1
Identifier la transformation et écrire sa matrice $M$ : pour une rotation d'angle $\theta$ , $M = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$ ; pour une symétrie par rapport à l'axe $Ox$ , $M = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$ ; pour une homothétie de rapport $k$ , $M = \begin{pmatrix}k & 0 \\ 0 & k\end{pmatrix}$ .
2
Calculer le produit $M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ pour obtenir les coordonnées de l'image.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Trouver l'image du point $A(3, 1)$ par la rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ centrée à l'origine.

Étape 1 —

Identifier la transformation et écrire sa matrice

M

: pour une rotation d'angle

\theta

M = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}

; pour une symétrie par rapport à l'axe

Ox

M = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}

; pour une homothétie de rapport

k

M = \begin{pmatrix}k & 0 \\ 0 & k\end{pmatrix}

Rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ : $M = \begin{pmatrix}\cos\frac{\pi}{2} & -\sin\frac{\pi}{2} \\ \sin\frac{\pi}{2} & \cos\frac{\pi}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

Calculer le produit

M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

pour obtenir les coordonnées de l'image.

$M\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 \\ 1 \cdot 3 + 0 \cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}$ . L'image de $A(3,1)$ est $A'(-1, 3)$ .

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Comment utiliser les matrices pour représenter une transformation géométrique du plan ?

En associant à la transformation une matrice MMM de taille 2×22 \times 22×2 et en calculant l'image du vecteur (xy)\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}(xy​) par M(xy)M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}M(xy​)

Pour comprendre, fais des exercices !

En associant à la transformation une matrice $M$ de taille $2 \times 2$ et en calculant l'image du vecteur $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ par $M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$