Comment interpréter géométriquement le module et l'argument de $\dfrac{c-a}{b-a}$ ? | MetMat

Comment interpréter géométriquement le module et l'argument de $\dfrac{c-a}{b-a}$ ?

En calculant $\arg\!\left(\frac{c-a}{b-a}\right) = \widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})}$ : c'est l'angle orienté de la rotation qui envoie la direction de $\overrightarrow{AB}$ sur celle de $\overrightarrow{AC}$

Interpréter l'argument de $\frac{c-a}{b-a}$ comme l'angle orienté de la rotation d'axe $A$ envoyant $B$ sur un point de la demi-droite $[AC)$ .

L'objectif

Interpréter l'argument de $\frac{c-a}{b-a}$ comme l'angle orienté de la rotation d'axe $A$ envoyant $B$ sur un point de la demi-droite $[AC)$ .

Le principe

L'argument du rapport $\frac{c-a}{b-a}$ est égal à l'angle orienté $\widehat{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})}$ : c'est l'angle de la rotation de centre $A$ qui envoie la direction de $\overrightarrow{AB}$ sur la direction de $\overrightarrow{AC}$ .

La méthode

1
Calculer le rapport $\frac{c-a}{b-a}$ et le mettre sous forme exponentielle $r\,e^{i\theta}$ ou reconnaître son argument à partir de la forme algébrique.
Comment passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle ?Voir
2
Identifier $\theta = \arg\!\left(\frac{c-a}{b-a}\right) = \widehat{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})}$ et décrire la rotation correspondante : rotation de centre $A$ , d'angle $\theta$ , qui envoie la direction de $\overrightarrow{AB}$ sur celle de $\overrightarrow{AC}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Avec $a=0$ , $b=2$ , $c=1+i\sqrt{3}$ , calculer $\arg\!\left(\frac{c-a}{b-a}\right)$ et interpréter.

Étape 1 —

Calculer le rapport

\frac{c-a}{b-a}

et le mettre sous forme exponentielle

r\,e^{i\theta}

ou reconnaître son argument à partir de la forme algébrique.

$\frac{c-a}{b-a} = \frac{1+i\sqrt{3}}{2} = e^{i\pi/3}$ (car $\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ).

Étape 2 —

Identifier

\theta = \arg\!\left(\frac{c-a}{b-a}\right) = \widehat{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})}

et décrire la rotation correspondante : rotation de centre

A

, d'angle

\theta

, qui envoie la direction de

\overrightarrow{AB}

sur celle de

\overrightarrow{AC}

$\arg\!\left(\frac{c-a}{b-a}\right) = \frac{\pi}{3}$ : la rotation de centre $A(0)$ d'angle $\frac{\pi}{3}$ envoie la direction $\overrightarrow{AB}$ sur la direction $\overrightarrow{AC}$ , ce qui confirme que le triangle $OBC$ est équilatéral (angle $= 60°$ ).

$\widehat{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})} = \dfrac{\pi}{3}$ : le triangle est équilatéral.

Application guidée

Avec $a=0$ , $b=1$ , $c=i$ , calculer $\arg\!\left(\frac{c-a}{b-a}\right)$ et interpréter.

Application autonome 1

Avec $a = 1$ , $b = 2$ , $c = 1+i$ , calculer $\arg\!\left(\frac{c-a}{b-a}\right)$ et interpréter.

Application autonome 2

Les affixes des sommets d'un triangle $ABC$ sont $a=0$ , $b=2$ , $c=1+i$ . Calculer $\arg\!\left(\frac{c-a}{b-a}\right)$ et en déduire la nature du triangle.

Application autonome 3

Avec $a = 1+i$ , $b = 3+i$ , $c = 1-i$ , calculer $\arg\!\left(\dfrac{c-a}{b-a}\right)$ et caractériser la rotation de centre $A$ envoyant la direction de $\overrightarrow{AB}$ sur celle de $\overrightarrow{AC}$ .

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