Comment interpréter géométriquement le module et l'argument de $\dfrac{c-a}{b-a}$ ? | MetMat

Comment interpréter géométriquement le module et l'argument de $\dfrac{c-a}{b-a}$ ?

En calculant $\left|\frac{c-a}{b-a}\right| = \frac{AC}{AB}$ : c'est le rapport des longueurs $AC$ et $AB$

Calculer ou utiliser le rapport $\frac{AC}{AB}$ à partir du module du rapport des affixes $\frac{c-a}{b-a}$ .

L'objectif

Calculer ou utiliser le rapport $\frac{AC}{AB}$ à partir du module du rapport des affixes $\frac{c-a}{b-a}$ .

Le principe

Le module du quotient est le quotient des modules : $\left|\frac{c-a}{b-a}\right| = \frac{|c-a|}{|b-a|} = \frac{AC}{AB}$ , ce qui donne le rapport de similitude entre les segments $AC$ et $AB$ .

La méthode

1
Calculer $|c-a|$ et $|b-a|$ séparément, puis former leur rapport $\frac{|c-a|}{|b-a|}$ .
2
Identifier ce rapport comme $\frac{AC}{AB}$ et interpréter géométriquement : si le rapport vaut $1$ , alors $AC = AB$ ; si le rapport vaut $2$ , alors $AC = 2\,AB$ , etc.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Avec $a = 0$ , $b = 1$ , $c = 1+i\sqrt{3}$ , calculer $\left|\frac{c-a}{b-a}\right|$ et interpréter.

Étape 1 —

Calculer

|c-a|

|b-a|

séparément, puis former leur rapport

\frac{|c-a|}{|b-a|}

$|c-a| = |1+i\sqrt{3}| = \sqrt{1+3} = 2$ et $|b-a| = |1| = 1$ , donc $\left|\frac{c-a}{b-a}\right| = 2$ .

Étape 2 —

Identifier ce rapport comme

\frac{AC}{AB}

et interpréter géométriquement : si le rapport vaut

1

, alors

AC = AB

; si le rapport vaut

2

, alors

AC = 2\,AB

, etc.

$\frac{AC}{AB} = 2$ : le segment $AC$ est deux fois plus long que $AB$ .

$\left|\frac{c-a}{b-a}\right| = 2$ , donc $AC = 2\,AB$ .

Application guidée

Avec $a = i$ , $b = 1+i$ , $c = 1+2i$ , calculer $\left|\frac{c-a}{b-a}\right|$ et interpréter.

Application autonome 1

Dans un triangle équilatéral $ABC$ de côté $2$ , $A$ d'affixe $0$ , $B$ d'affixe $2$ , $C$ d'affixe $1+i\sqrt{3}$ . Calculer $\left|\frac{c-a}{b-a}\right|$ .

Application autonome 2

Avec $a = 0$ , $b = 3$ , $c = 1+i$ , calculer $\left|\frac{c-a}{b-a}\right|$ .

Application autonome 3

Avec $a = 2+i$ , $b = 3+i$ , $c = 2+5i$ , calculer $\left|\dfrac{c-a}{b-a}\right|$ et interpréter.

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En calculant ∣c−ab−a∣=ACAB\left|\frac{c-a}{b-a}\right| = \frac{AC}{AB}​b−ac−a​​=ABAC​ : c'est le rapport des longueurs ACACAC et ABABAB

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $\left|\frac{c-a}{b-a}\right| = \frac{AC}{AB}$ : c'est le rapport des longueurs $AC$ et $AB$