Comment interpréter géométriquement le module et l'argument de $\dfrac{c-a}{b-a}$ ?

En calculant $\left|\frac{c-a}{b-a}\right| = \frac{AC}{AB}$ : c'est le rapport des longueurs $AC$ et $AB$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Avec $a = 0$ , $b = 1$ , $c = 1+i\sqrt{3}$ , calculer $\left|\frac{c-a}{b-a}\right|$ et interpréter.

La méthode

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Calculer $|c-a|$ et $|b-a|$ séparément, puis former leur rapport $\frac{|c-a|}{|b-a|}$ .
2
Identifier ce rapport comme $\frac{AC}{AB}$ et interpréter géométriquement : si le rapport vaut $1$ , alors $AC = AB$ ; si le rapport vaut $2$ , alors $AC = 2\,AB$ , etc.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Avec $a = 0$ , $b = 1$ , $c = 1+i\sqrt{3}$ , calculer $\left|\frac{c-a}{b-a}\right|$ et interpréter.

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$|c-a| = |1+i\sqrt{3}| = \sqrt{1+3} = 2$ et $|b-a| = |1| = 1$ , donc $\left|\frac{c-a}{b-a}\right| = 2$ .

2

$\frac{AC}{AB} = 2$ : le segment $AC$ est deux fois plus long que $AB$ .

$\left|\frac{c-a}{b-a}\right| = 2$ , donc $AC = 2\,AB$ .

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Comment interpréter géométriquement le module et l'argument de c−ab−a\dfrac{c-a}{b-a}b−ac−a​ ?

En calculant ∣c−ab−a∣=ACAB\left|\frac{c-a}{b-a}\right| = \frac{AC}{AB}​b−ac−a​​=ABAC​ : c'est le rapport des longueurs ACACAC et ABABAB

Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment interpréter géométriquement le module et l'argument de $\dfrac{c-a}{b-a}$ ?

En calculant $\left|\frac{c-a}{b-a}\right| = \frac{AC}{AB}$ : c'est le rapport des longueurs $AC$ et $AB$