Comment interpréter géométriquement le module et l'argument de $\dfrac{c-a}{b-a}$ ?

En calculant $\left|\frac{c-a}{b-a}\right| = \frac{AC}{AB}$ : c'est le rapport des longueurs $AC$ et $AB$

L'objectif

Calculer ou utiliser le rapport $\frac{AC}{AB}$ à partir du module du rapport des affixes $\frac{c-a}{b-a}$ .

Le principe

Le module du quotient est le quotient des modules : $\left|\frac{c-a}{b-a}\right| = \frac{|c-a|}{|b-a|} = \frac{AC}{AB}$ , ce qui donne le rapport de similitude entre les segments $AC$ et $AB$ .

La méthode

1
Calculer $|c-a|$ et $|b-a|$ séparément, puis former leur rapport $\frac{|c-a|}{|b-a|}$ .
2
Identifier ce rapport comme $\frac{AC}{AB}$ et interpréter géométriquement : si le rapport vaut $1$ , alors $AC = AB$ ; si le rapport vaut $2$ , alors $AC = 2\,AB$ , etc.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En calculant ∣c−ab−a∣=ACAB\left|\frac{c-a}{b-a}\right| = \frac{AC}{AB}​b−ac−a​​=ABAC​ : c'est le rapport des longueurs ACACAC et ABABAB

Exemple corrigé

En calculant $\left|\frac{c-a}{b-a}\right| = \frac{AC}{AB}$ : c'est le rapport des longueurs $AC$ et $AB$