Comment standardiser une… : En centrant et réduisant : X-mu sigma… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment standardiser une variable normale en utilisant $\frac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$ et la table de $\Phi$ ?

En centrant et réduisant : $\frac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$ puis en lisant $\Phi$ dans la table

Calculer $P(a \leq X \leq b)$ pour $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ à l'aide de la table de $\Phi$ .

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \sim \mathcal{N}(10, 4)$ . Calculer $P(8 \leq X \leq 13)$ en fonction de $\Phi$ .

L'objectif

Calculer $P(a \leq X \leq b)$ pour $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ à l'aide de la table de $\Phi$ .

Le principe

Si $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ avec $\sigma > 0$ , alors $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$ ; en notant $\Phi$ la fonction de répartition de $\mathcal{N}(0,1)$ , $P(a \leq X \leq b) = \Phi\!\left(\dfrac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\dfrac{a - \mu}{\sigma}\right)$ , et $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

La méthode

1
Je pose $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$ et je justifie que $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ par stabilité affine.
2
Je réécris l'événement à l'aide de $Z$ : $\{a \leq X \leq b\} = \left\{\dfrac{a - \mu}{\sigma} \leq Z \leq \dfrac{b - \mu}{\sigma}\right\}$ .
3
J'exprime la probabilité avec $\Phi$ : $P(a \leq X \leq b) = \Phi\!\left(\dfrac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\dfrac{a - \mu}{\sigma}\right)$ .
4
Si une borne donne $\Phi$ d'un réel négatif, j'utilise $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$ pour me ramener à la table (valeurs positives).
5
Je lis chaque valeur dans la table de $\Phi$ et j'effectue l'opération finale.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X \sim \mathcal{N}(10, 4)$ . Calculer $P(8 \leq X \leq 13)$ en fonction de $\Phi$ .

Étape 1 —

Je pose

Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}

et je justifie que

Z \sim \mathcal{N}(0,1)

par stabilité affine.

$\sigma = 2$ donc $Z = \dfrac{X - 10}{2} \sim \mathcal{N}(0,1)$ .

Étape 2 —

Je réécris l'événement à l'aide de

Z

\{a \leq X \leq b\} = \left\{\dfrac{a - \mu}{\sigma} \leq Z \leq \dfrac{b - \mu}{\sigma}\right\}

$\{8 \leq X \leq 13\} = \left\{\dfrac{8 - 10}{2} \leq Z \leq \dfrac{13 - 10}{2}\right\} = \{-1 \leq Z \leq 1{,}5\}$ .

Étape 3 —

J'exprime la probabilité avec

\Phi

P(a \leq X \leq b) = \Phi\!\left(\dfrac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\dfrac{a - \mu}{\sigma}\right)

$P(8 \leq X \leq 13) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-1)$ .

Étape 4 —

Si une borne donne

\Phi

d'un réel négatif, j'utilise

\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)

pour me ramener à la table (valeurs positives).

$\Phi(-1) = 1 - \Phi(1)$ , donc $P = \Phi(1{,}5) + \Phi(1) - 1$ .

Étape 5 —

Je lis chaque valeur dans la table de

\Phi

et j'effectue l'opération finale.

Avec la table, $\Phi(1) \approx 0{,}8413$ et $\Phi(1{,}5) \approx 0{,}9332$ , soit $P \approx 0{,}9332 + 0{,}8413 - 1 = 0{,}7745$ .

$P(8 \leq X \leq 13) = \Phi(1{,}5) + \Phi(1) - 1 \approx 0{,}7745$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment standardiser une variable normale en utilisant X−μσ∼N(0,1)\frac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)σX−μ​∼N(0,1) et la table de Φ\PhiΦ ?

En centrant et réduisant : X−μσ∼N(0,1)\frac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)σX−μ​∼N(0,1) puis en lisant Φ\PhiΦ dans la table

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment standardiser une variable normale en utilisant $\frac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$ et la table de $\Phi$ ?

En centrant et réduisant : $\frac{X-\mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$ puis en lisant $\Phi$ dans la table