Comment retrouver la loi de $X^2$ ou de $\varphi(X)$ pour $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone ?

$X$ a pour support $[0,1]$ et $\varphi \colon x \mapsto -\ln(x)$ est $\mathcal{C}^1$ strictement décroissante sur $]0,1]$ ; $\varphi(]0,1]) = [0,+\infty[$.

Pour $y \geq 0$, $\varphi(X) \leq y \Leftrightarrow -\ln(X) \leq y \Leftrightarrow X \geq e^{-y}$ (car $\varphi$ décroît). Pour $y < 0$, $F_Y(y) = 0$.

Pour $y \geq 0$, $F_Y(y) = P(X \geq e^{-y}) = 1 - F_X(e^{-y}) = 1 - e^{-y}$ (car $F_X(x) = x$ sur $[0,1]$).

$F_Y$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $\mathcal{C}^1$ sauf en $0$ : $Y$ est à densité.

Par dérivation, $f_Y(y) = e^{-y}$ pour $y > 0$ et $f_Y(y) = 0$ sinon : $Y \sim \mathcal{E}(1)$.