Comment retrouver la loi de X^2… : En traitant X^2 via F_ X^2 (y) =… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment retrouver la loi de $X^2$ ou de $\varphi(X)$ pour $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^1$ strictement monotone ?

En traitant $X^2$ via $F_{X^2}(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})$ pour $y \geq 0$ , puis en dérivant

Déterminer la fonction de répartition puis la densité de $Y = X^2$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ . Déterminer la densité de $Y = X^2$ .

L'objectif

Déterminer la fonction de répartition puis la densité de $Y = X^2$ .

Le principe

Pour $y \geq 0$ , $\{X^2 \leq y\} = \{-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}\}$ , donc $F_{X^2}(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})$ ; par dérivation, une densité de $X^2$ est $f_{X^2}(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}}\bigl(f_X(\sqrt{y}) + f_X(-\sqrt{y})\bigr)$ pour $y > 0$ .

La méthode

1
Pour $y < 0$ , j'observe que $\{X^2 \leq y\} = \emptyset$ donc $F_{X^2}(y) = 0$ .
2
Pour $y \geq 0$ , j'écris $\{X^2 \leq y\} = \{-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}\}$ puis $F_{X^2}(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})$ .
3
Je vérifie que $F_{X^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $\mathcal{C}^1$ sauf en un nombre fini de points.
4
Je dérive : $f_{X^2}(y) = \dfrac{1}{2\sqrt{y}}\bigl(f_X(\sqrt{y}) + f_X(-\sqrt{y})\bigr)$ pour $y > 0$ , et $f_{X^2}(y) = 0$ pour $y \leq 0$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ . Déterminer la densité de $Y = X^2$ .

Étape 1 —

Pour

y < 0

, j'observe que

\{X^2 \leq y\} = \emptyset

donc

F_{X^2}(y) = 0

Pour $y < 0$ , $F_Y(y) = 0$ .

Étape 2 —

Pour

y \geq 0

, j'écris

\{X^2 \leq y\} = \{-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}\}

puis

F_{X^2}(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})

Pour $y \geq 0$ , $F_Y(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y}) = \Phi(\sqrt{y}) - \Phi(-\sqrt{y})$ .

Étape 3 —

Je vérifie que

F_{X^2}

est continue sur

\mathbb{R}

\mathcal{C}^1

sauf en un nombre fini de points.

$F_Y$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $\mathcal{C}^1$ sur $]0,+\infty[$ : $Y$ est à densité.

Étape 4 —

Je dérive :

f_{X^2}(y) = \dfrac{1}{2\sqrt{y}}\bigl(f_X(\sqrt{y}) + f_X(-\sqrt{y})\bigr)

pour

y > 0

, et

f_{X^2}(y) = 0

pour

y \leq 0

Avec $f_X(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}$ , pour $y > 0$ : $f_Y(y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi y}} e^{-y/2}$ , soit $Y \sim \chi^2(1)$ (loi du $\chi^2$ à $1$ degré).

$f_Y(y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi y}} e^{-y/2} \mathbf{1}_{y>0}$ .

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Pour comprendre, fais des exercices !

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En traitant $X^2$ via $F_{X^2}(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})$ pour $y \geq 0$ , puis en dérivant