Comment déterminer la loi, la… : En revenant à F_ aX+b (x) = P(aX+b ≤ x)… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment déterminer la loi, la fonction de répartition et la densité de $aX + b$ avec $a \neq 0$ ?

En revenant à $F_{aX+b}(x) = \mathbb{P}(aX+b \leq x)$ selon le signe de $a$ , puis en dérivant

Établir la loi de $Y = aX + b$ (fonction de répartition et densité) à partir de celle de $X$ , pour $a \neq 0$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $X \sim \mathcal{U}([0, 1])$ . Déterminer la loi de $Y = 3X - 1$ .

L'objectif

Établir la loi de $Y = aX + b$ (fonction de répartition et densité) à partir de celle de $X$ , pour $a \neq 0$ .

Le principe

Pour $a \neq 0$ , on a $F_{aX+b}(x) = F_X\!\left(\dfrac{x-b}{a}\right)$ si $a > 0$ et $F_{aX+b}(x) = 1 - F_X\!\left(\dfrac{x-b}{a}\right)$ si $a < 0$ (car $aX + b \leq x \iff X \geq \frac{x-b}{a}$ ). Par dérivation, une densité de $aX + b$ est $f_{aX+b}(x) = \dfrac{1}{|a|} f_X\!\left(\dfrac{x-b}{a}\right)$ .

La méthode

1
Je pose $Y = aX + b$ et j'écris $F_Y(x) = \mathbb{P}(Y \leq x) = \mathbb{P}(aX + b \leq x) = \mathbb{P}\!\left(aX \leq x - b\right)$ pour $x \in \mathbb{R}$ .
2
Je distingue selon le signe de $a$ : si $a > 0$ , $F_Y(x) = \mathbb{P}\!\left(X \leq \frac{x-b}{a}\right) = F_X\!\left(\frac{x-b}{a}\right)$ ; si $a < 0$ , l'inégalité se retourne et $F_Y(x) = \mathbb{P}\!\left(X \geq \frac{x-b}{a}\right) = 1 - F_X\!\left(\frac{x-b}{a}\right)$ (car $\mathbb{P}(X = \frac{x-b}{a}) = 0$ ).
3
Je dérive $F_Y$ par la règle de dérivation en chaîne : dans les deux cas, $f_Y(x) = \dfrac{1}{|a|} f_X\!\left(\dfrac{x-b}{a}\right)$ aux points où $F_X$ est $\mathcal{C}^1$ en $\frac{x-b}{a}$ .
4
Je reconnais éventuellement la loi de $Y$ (stabilité affine pour $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ et $\mathcal{U}[a,b]$ ) et je précise le support sur lequel la densité est non nulle.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $X \sim \mathcal{U}([0, 1])$ . Déterminer la loi de $Y = 3X - 1$ .

Étape 1 —

Je pose

Y = aX + b

et j'écris

F_Y(x) = \mathbb{P}(Y \leq x) = \mathbb{P}(aX + b \leq x) = \mathbb{P}\!\left(aX \leq x - b\right)

pour

x \in \mathbb{R}

Je pose $Y = 3X - 1$ avec $a = 3 > 0$ et $b = -1$ : $F_Y(x) = \mathbb{P}(3X - 1 \leq x) = \mathbb{P}\!\left(X \leq \frac{x+1}{3}\right)$ .

Étape 2 —

Je distingue selon le signe de

a

: si

a > 0

F_Y(x) = \mathbb{P}\!\left(X \leq \frac{x-b}{a}\right) = F_X\!\left(\frac{x-b}{a}\right)

; si

a < 0

, l'inégalité se retourne et

F_Y(x) = \mathbb{P}\!\left(X \geq \frac{x-b}{a}\right) = 1 - F_X\!\left(\frac{x-b}{a}\right)

(car

\mathbb{P}(X = \frac{x-b}{a}) = 0

Comme $a = 3 > 0$ , $F_Y(x) = F_X\!\left(\frac{x+1}{3}\right)$ . Or $F_X(u) = 0$ si $u < 0$ , $= u$ si $u \in [0, 1]$ , $= 1$ si $u > 1$ . D'où $F_Y(x) = 0$ si $x < -1$ , $F_Y(x) = \frac{x+1}{3}$ si $x \in [-1, 2]$ , $F_Y(x) = 1$ si $x > 2$ .

Étape 3 —

Je dérive

F_Y

par la règle de dérivation en chaîne : dans les deux cas,

f_Y(x) = \dfrac{1}{|a|} f_X\!\left(\dfrac{x-b}{a}\right)

aux points où

F_X

est

\mathcal{C}^1

\frac{x-b}{a}

Par dérivation : $f_Y(x) = \dfrac{1}{|3|} f_X\!\left(\dfrac{x+1}{3}\right) = \dfrac{1}{3}$ si $\frac{x+1}{3} \in ]0, 1[$ , soit $x \in ]-1, 2[$ ; et $0$ sinon.

Étape 4 —

Je reconnais éventuellement la loi de

Y

(stabilité affine pour

\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)

\mathcal{U}[a,b]

) et je précise le support sur lequel la densité est non nulle.

La densité est $\frac{1}{3}$ constante sur $[-1, 2]$ : c'est la loi uniforme sur $[-1, 2]$ . Conforme à la stabilité : $aX + b$ suit $\mathcal{U}([a \cdot 0 + b, a \cdot 1 + b]) = \mathcal{U}([-1, 2])$ .

$Y = 3X - 1 \sim \mathcal{U}([-1, 2])$ .

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Pour comprendre, fais des exercices !

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En revenant à $F_{aX+b}(x) = \mathbb{P}(aX+b \leq x)$ selon le signe de $a$ , puis en dérivant