Comment visualiser le plan… : En traçant la surface, le plan tangent… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment visualiser le plan tangent et mettre en évidence l'orthogonalité du gradient aux lignes de niveau ?

En traçant la surface, le plan tangent via `plot_surface` et en superposant `plt.quiver` aux courbes de niveau

Illustrer géométriquement le gradient d'une fonction de deux variables et son orthogonalité aux lignes de niveau.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Pour $f(x,y) = x^2 + y^2$ , tracer la surface, le plan tangent en $(1,1)$ , et vérifier $\nabla f \perp$ cercles de niveau.

L'objectif

Illustrer géométriquement le gradient d'une fonction de deux variables et son orthogonalité aux lignes de niveau.

Le principe

Le plan affine tangent au graphe en $(a,b)$ a pour équation $z = f(a,b) + \partial_x f(a,b)\,(x-a) + \partial_y f(a,b)\,(y-b)$ , et en tout point $\nabla f(a,b) = (\partial_x f, \partial_y f)$ est orthogonal à la ligne de niveau passant par $(a,b)$ .

La méthode

1
Je construis la grille X, Y = np.meshgrid(np.linspace(-2,2,50), np.linspace(-2,2,50)) et Z = f(X, Y).
2
Je choisis un point d'étude $(a,b)$ et je calcule les dérivées partielles $f_x = \partial_x f(a,b)$ et $f_y = \partial_y f(a,b)$ (soit analytiquement, soit par différences finies).
3
Je définis le plan tangent : Z_tan = f(a,b) + fx*(X-a) + fy*(Y-b), puis je superpose ax.plot_surface(X, Y, Z, alpha=0.5) et ax.plot_surface(X, Y, Z_tan, alpha=0.3, color='red') sur la même figure 3D.
4
Sur une seconde figure 2D, je trace les lignes de niveau plt.contour(X, Y, Z, levels=10) puis j'évalue le champ gradient Fx, Fy = df_dx(X, Y), df_dy(X, Y) sur une sous-grille plus grossière.
Comment calculer le gradient $\nabla f(x)$ d'une fonction en un point ?Voir
5
Je saisis plt.quiver(Xq, Yq, Fx, Fy, color='red') pour afficher les flèches gradient ; visuellement, chaque flèche est perpendiculaire à la ligne de niveau qui la traverse.
Comment calculer le gradient $\nabla f(x)$ d'une fonction en un point ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Pour $f(x,y) = x^2 + y^2$ , tracer la surface, le plan tangent en $(1,1)$ , et vérifier $\nabla f \perp$ cercles de niveau.

Étape 1 —

Je construis la grille X, Y = np.meshgrid(np.linspace(-2,2,50), np.linspace(-2,2,50)) et Z = f(X, Y).

X, Y = np.meshgrid(np.linspace(-2,2,50), np.linspace(-2,2,50)), Z = X**2 + Y**2.

Étape 2 —

Je choisis un point d'étude

(a,b)

et je calcule les dérivées partielles

f_x = \partial_x f(a,b)

f_y = \partial_y f(a,b)

(soit analytiquement, soit par différences finies).

En $(a,b)=(1,1)$ , $\partial_x f = 2x = 2$ et $\partial_y f = 2y = 2$ ; donc fx, fy = 2, 2 et $f(1,1) = 2$ .

Étape 3 —

Je définis le plan tangent : Z_tan = f(a,b) + fx*(X-a) + fy*(Y-b), puis je superpose ax.plot_surface(X, Y, Z, alpha=0.5) et ax.plot_surface(X, Y, Z_tan, alpha=0.3, color='red') sur la même figure 3D.

Je calcule Z_tan = 2 + 2*(X-1) + 2*(Y-1) puis ax.plot_surface(X, Y, Z, alpha=0.5, cmap='viridis') et ax.plot_surface(X, Y, Z_tan, alpha=0.3, color='red') : le plan touche la surface en $(1,1,2)$ .

Étape 4 —

Sur une seconde figure 2D, je trace les lignes de niveau plt.contour(X, Y, Z, levels=10) puis j'évalue le champ gradient Fx, Fy = df_dx(X, Y), df_dy(X, Y) sur une sous-grille plus grossière.

Sur une figure 2D, plt.contour(X, Y, Z, levels=[1, 2, 4, 8]) trace des cercles.

Étape 5 —

Je saisis plt.quiver(Xq, Yq, Fx, Fy, color='red') pour afficher les flèches gradient ; visuellement, chaque flèche est perpendiculaire à la ligne de niveau qui la traverse.

Xq, Yq = np.meshgrid(np.linspace(-2,2,8), np.linspace(-2,2,8)), puis plt.quiver(Xq, Yq, 2*Xq, 2*Yq, color='red') : chaque flèche $\nabla f(x,y) = (2x, 2y)$ pointe radialement, donc perpendiculaire au cercle de niveau.

Le plan tangent en $(1,1,2)$ a pour équation $z = 2 + 2(x-1) + 2(y-1) = 2x + 2y - 2$ et $\nabla f = (2x,2y)$ est radial, orthogonal aux cercles $x^2+y^2=c$ .

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Comment visualiser le plan tangent et mettre en évidence l'orthogonalité du gradient aux lignes de niveau ?

En traçant la surface, le plan tangent via plot_surface et en superposant plt.quiver aux courbes de niveau

Pour comprendre, fais des exercices !

En traçant la surface, le plan tangent via `plot_surface` et en superposant `plt.quiver` aux courbes de niveau