Comment comparer un échantillon… : En traçant un histogramme normalisé de… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment comparer un échantillon simulé avec la loi théorique via histogramme, diagramme en bâtons ou fonction de répartition empirique ?

En traçant un histogramme normalisé de l'échantillon et en superposant la densité théorique

Comparer visuellement la densité empirique d'un échantillon continu avec la densité théorique de la loi.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Simuler un échantillon de taille $N=10^4$ d'une loi exponentielle $\mathcal{E}(2)$ et comparer son histogramme à la densité théorique $f(x)=2\mathrm{e}^{-2x}\mathbf{1}_{x\geq 0}$ .

L'objectif

Comparer visuellement la densité empirique d'un échantillon continu avec la densité théorique de la loi.

Le principe

Si $(X_1,\dots,X_N)$ est un échantillon i.i.d. de densité $f$ , l'histogramme normalisé par l'option density=True converge (pour $N$ grand et des classes pas trop fines) vers $f$ : la superposition des deux courbes permet de valider la simulation.

La méthode

1
Je simule un échantillon de grande taille $N$ (typiquement $N=10^4$ ou $10^5$ ) de la loi voulue, par exemple avec X = rd.exponential(scale=1/lam, size=N) ou une méthode d'inversion.
2
Je trace l'histogramme normalisé avec plt.hist(X, bins=50, density=True, alpha=0.6, label='empirique') pour que l'aire totale vaille $1$ .
3
Je construis une grille fine $t$ avec t = np.linspace(a, b, 500) couvrant le support de la loi et j'évalue la densité théorique $f(t)$ .
4
Je superpose la courbe théorique via plt.plot(t, f(t), 'r', label='théorique') puis j'ajoute titre, légende et plt.show() pour commenter l'adéquation visuelle.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Simuler un échantillon de taille $N=10^4$ d'une loi exponentielle $\mathcal{E}(2)$ et comparer son histogramme à la densité théorique $f(x)=2\mathrm{e}^{-2x}\mathbf{1}_{x\geq 0}$ .

Étape 1 —

Je simule un échantillon de grande taille

N

(typiquement

N=10^4

10^5

) de la loi voulue, par exemple avec X = rd.exponential(scale=1/lam, size=N) ou une méthode d'inversion.

import numpy as np
import numpy.random as rd
import matplotlib.pyplot as plt
N, lam = 10**4, 2
X = rd.exponential(scale=1/lam, size=N)

Étape 2 —

Je trace l'histogramme normalisé avec plt.hist(X, bins=50, density=True, alpha=0.6, label='empirique') pour que l'aire totale vaille

1

plt.hist(X, bins=50, density=True, alpha=0.6, label='empirique')

Étape 3 —

Je construis une grille fine

t

avec t = np.linspace(a, b, 500) couvrant le support de la loi et j'évalue la densité théorique

f(t)

t = np.linspace(0, 4, 500)
f = lam * np.exp(-lam * t)

Étape 4 —

Je superpose la courbe théorique via plt.plot(t, f(t), 'r', label='théorique') puis j'ajoute titre, légende et plt.show() pour commenter l'adéquation visuelle.

plt.plot(t, f, 'r', label='densité E(2)')
plt.legend(); plt.title('Histogramme vs densité théorique'); plt.show()

L'histogramme épouse la courbe $f(x)=2\mathrm{e}^{-2x}$ sur $\mathbb{R}_+$ , confirmant la simulation.

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.