L'objectif

Simplifier une covariance de combinaisons linéaires en une somme de covariances de base.

Le principe

La covariance est bilinéaire, symétrique, et vérifie $\mathrm{Cov}(X,X)=V(X)$ et $\mathrm{Cov}(X,c)=0$ pour toute constante $c$ : $\mathrm{Cov}\!\left(\sum_i a_i X_i,\sum_j b_j Y_j\right)=\sum_{i,j} a_i b_j\,\mathrm{Cov}(X_i,Y_j)$ .

La méthode

1
Je vérifie que toutes les variables en jeu admettent une variance finie, ce qui garantit l'existence de toutes les covariances.
Comment calculer la covariance $\mathrm{Cov}(X,Y)$ à l'aide de la formule de Huygens ?Voir
2
Je développe la covariance en double somme $\mathrm{Cov}(\sum a_i X_i,\sum b_j Y_j)=\sum_{i,j} a_i b_j \mathrm{Cov}(X_i,Y_j)$ en utilisant la bilinéarité.
Comment calculer la covariance $\mathrm{Cov}(X,Y)$ à l'aide de la formule de Huygens ?Voir
3
Je simplifie chaque terme : $\mathrm{Cov}(X_i,X_i)=V(X_i)$ , $\mathrm{Cov}(X_i,c)=0$ , et j'utilise la symétrie $\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=\mathrm{Cov}(X_j,X_i)$ si nécessaire.
4
Je regroupe les termes identiques et je conclus.

Comment exploiter la bilinéarité et la symétrie de la covariance dans un calcul ?

En développant $\mathrm{Cov}(\sum a_i X_i,\sum b_j Y_j)=\sum_{i,j} a_i b_j \mathrm{Cov}(X_i,Y_j)$ et en utilisant la symétrie

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment exploiter la bilinéarité et la symétrie de la covariance dans un calcul ?

En développant Cov(∑aiXi,∑bjYj)=∑i,jaibjCov(Xi,Yj)\mathrm{Cov}(\sum a_i X_i,\sum b_j Y_j)=\sum_{i,j} a_i b_j \mathrm{Cov}(X_i,Y_j)Cov(∑ai​Xi​,∑bj​Yj​)=∑i,j​ai​bj​Cov(Xi​,Yj​) et en utilisant la symétrie

Pour comprendre, fais des exercices !

En développant $\mathrm{Cov}(\sum a_i X_i,\sum b_j Y_j)=\sum_{i,j} a_i b_j \mathrm{Cov}(X_i,Y_j)$ et en utilisant la symétrie