Comment calculer la covariance $\mathrm{Cov}(X,Y)$ à l'aide de la formule de Huygens ?

En appliquant $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ après avoir vérifié l'existence des espérances

Calculer $\mathrm{Cov}(X,Y)$ via les espérances de $X$ , $Y$ et $XY$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $(X,Y)$ un couple discret de loi conjointe $P(X=0,Y=0)=0{,}1$ , $P(X=0,Y=1)=0{,}2$ , $P(X=1,Y=0)=0{,}3$ , $P(X=1,Y=1)=0{,}4$ . Calculer $\mathrm{Cov}(X,Y)$ .

L'objectif

Calculer $\mathrm{Cov}(X,Y)$ via les espérances de $X$ , $Y$ et $XY$ .

Le principe

Si $X$ et $Y$ admettent une variance, alors $XY$ admet une espérance et $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ , appelée formule de Huygens.

La méthode

1
Je vérifie que $X$ et $Y$ admettent une variance (donc une espérance et un moment d'ordre $2$ ), ce qui garantit l'existence de $\mathrm{Cov}(X,Y)$ et de $E(XY)$ .
2
Je calcule $E(X)$ et $E(Y)$ à partir des lois de $X$ et $Y$ .
3
Je calcule $E(XY)$ : soit par la loi conjointe du couple, soit par $E(XY)=E(X)E(Y)$ si $X$ et $Y$ sont indépendantes.
4
Je conclus par $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $(X,Y)$ un couple discret de loi conjointe $P(X=0,Y=0)=0{,}1$ , $P(X=0,Y=1)=0{,}2$ , $P(X=1,Y=0)=0{,}3$ , $P(X=1,Y=1)=0{,}4$ . Calculer $\mathrm{Cov}(X,Y)$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

X

et

Y

admettent une variance (donc une espérance et un moment d'ordre

2

), ce qui garantit l'existence de

\mathrm{Cov}(X,Y)

et de

E(XY)

.

$X$ et $Y$ sont à valeurs dans $\{0,1\}$ donc bornées : elles admettent espérance et variance.

Étape 2 —

Je calcule

E(X)

et

E(Y)

à partir des lois de

X

et

Y

.

Lois marginales : $P(X=1)=0{,}3+0{,}4=0{,}7$ donc $E(X)=0{,}7$ ; $P(Y=1)=0{,}2+0{,}4=0{,}6$ donc $E(Y)=0{,}6$ .

Étape 3 —

Je calcule

E(XY)

: soit par la loi conjointe du couple, soit par

E(XY)=E(X)E(Y)

si

X

et

Y

sont indépendantes.

$E(XY)=\sum_{i,j} ij\,P(X=i,Y=j)=1\cdot 1\cdot 0{,}4=0{,}4$ .

Étape 4 —

Je conclus par

\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

.

Donc $\mathrm{Cov}(X,Y)=0{,}4-0{,}7\times 0{,}6=0{,}4-0{,}42=-0{,}02$ .

$\mathrm{Cov}(X,Y)=-0{,}02$ .

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