Comment calculer l'espérance d'un produit $E(XY)$ lorsque $X$ et $Y$ sont indépendantes ?

En appliquant $E(XY)=E(X)E(Y)$ dès que $X$ et $Y$ sont indépendantes et admettent une espérance

Calculer l'espérance du produit $XY$ en factorisant grâce à l'indépendance.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $X\hookrightarrow \mathcal{E}(2)$ et $Y\hookrightarrow \mathcal{N}(3,4)$ indépendantes. Calculer $E(XY)$ .

L'objectif

Calculer l'espérance du produit $XY$ en factorisant grâce à l'indépendance.

Le principe

Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes admettant chacune une espérance, alors $XY$ admet une espérance et $E(XY)=E(X)E(Y)$ .

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes et admettent chacune une espérance finie.
2
Je calcule séparément $E(X)$ et $E(Y)$ à partir des lois (ou des paramètres) de $X$ et $Y$ .
3
J'applique la formule $E(XY)=E(X)E(Y)$ et je conclus par la valeur obtenue.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soient $X\hookrightarrow \mathcal{E}(2)$ et $Y\hookrightarrow \mathcal{N}(3,4)$ indépendantes. Calculer $E(XY)$ .

Étape 1 —

Je vérifie les hypothèses :

X

et

Y

sont deux variables aléatoires indépendantes et admettent chacune une espérance finie.

$X$ et $Y$ sont indépendantes par hypothèse ; $X$ suit une loi exponentielle et $Y$ une loi normale, toutes deux admettent une espérance.

Étape 2 —

Je calcule séparément

E(X)

et

E(Y)

à partir des lois (ou des paramètres) de

X

et

Y

.

J'ai $E(X)=\dfrac{1}{2}$ (exponentielle de paramètre $2$ ) et $E(Y)=3$ (paramètre de la loi normale).

Étape 3 —

J'applique la formule

E(XY)=E(X)E(Y)

et je conclus par la valeur obtenue.

Donc $E(XY)=E(X)E(Y)=\dfrac{1}{2}\times 3=\dfrac{3}{2}$ .

$E(XY)=\dfrac{3}{2}$ .

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Pour comprendre, fais des exercices !

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En appliquant $E(XY)=E(X)E(Y)$ dès que $X$ et $Y$ sont indépendantes et admettent une espérance