Comment montrer que deux… : En interprétant A et B comme matrices… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer que deux matrices carrées sont semblables ?

En interprétant $A$ et $B$ comme matrices d'un même endomorphisme dans deux bases

Établir $A \sim B$ en identifiant $A$ et $B$ à la même application linéaire dans deux bases différentes.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ est semblable à $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

L'objectif

Établir $A \sim B$ en identifiant $A$ et $B$ à la même application linéaire dans deux bases différentes.

Le principe

Deux matrices représentent le même endomorphisme dans deux bases si et seulement si elles sont semblables, via la matrice de passage $P = P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}$ : $B = P^{-1} A P$ .

La méthode

1
Je considère l'endomorphisme $f$ canoniquement associé à $A$ dans une base $\mathcal{B}$ de $\mathbb{R}^n$ .
2
Je construis une seconde base $\mathcal{B}'$ adaptée à la question, puis je calcule les images $f(e'_j)$ des vecteurs de $\mathcal{B}'$ et j'écris leurs coordonnées en colonnes dans $\mathcal{B}'$ pour obtenir la matrice de $f$ dans cette base.
3
Je vérifie que la matrice obtenue est bien $B$ ; comme $A$ et $B$ représentent le même endomorphisme $f$ dans deux bases, elles sont semblables.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ est semblable à $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Je considère l'endomorphisme

f

canoniquement associé à

A

dans une base

\mathcal{B}

\mathbb{R}^n

Soit $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ l'endomorphisme canoniquement associé à $A$ dans $\mathcal{B} = (e_1, e_2)$ : $f(e_1) = 0$ et $f(e_2) = e_1$ .

Étape 2 —

Je construis une seconde base

\mathcal{B}'

adaptée à la question, puis je calcule les images

f(e'_j)

des vecteurs de

\mathcal{B}'

et j'écris leurs coordonnées en colonnes dans

\mathcal{B}'

pour obtenir la matrice de

f

dans cette base.

Je pose $\mathcal{B}' = (e_2, e_1)$ : $f(e_2) = e_1$ a pour coordonnées $(0, 1)$ dans $\mathcal{B}'$ , et $f(e_1) = 0$ a pour coordonnées $(0, 0)$ . D'où $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}'}(f) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = B$ .

Étape 3 —

Je vérifie que la matrice obtenue est bien

B

; comme

A

B

représentent le même endomorphisme

f

dans deux bases, elles sont semblables.

Donc $A$ et $B$ représentent le même endomorphisme $f$ dans les bases $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$ ; elles sont semblables.

$A \sim B$ par permutation des vecteurs de base.

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Comment montrer que deux matrices carrées sont semblables ?

En interprétant AAA et BBB comme matrices d'un même endomorphisme dans deux bases

Pour comprendre, fais des exercices !

En interprétant $A$ et $B$ comme matrices d'un même endomorphisme dans deux bases