Comment montrer que deux… : En exhibant explicitement une matrice… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment montrer que deux matrices carrées sont semblables ?

En exhibant explicitement une matrice inversible $P$ telle que $B = P^{-1} A P$

Établir $B = P^{-1} A P$ en produisant un candidat explicite $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ sont semblables.

L'objectif

Établir $B = P^{-1} A P$ en produisant un candidat explicite $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ .

Le principe

Deux matrices $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ sont semblables si et seulement s'il existe $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ telle que $B = P^{-1} A P$ ; exhiber un tel $P$ suffit à établir la similitude.

La méthode

1
Je propose une matrice candidate $P$ (souvent suggérée par l'énoncé ou par la structure des sous-espaces en jeu), et je vérifie qu'elle est inversible en calculant son déterminant ou en échelonnant.
2
Je calcule $A P$ puis je vérifie l'égalité $A P = P B$ , plus simple à manipuler que $B = P^{-1} A P$ .
3
Je conclus que $A$ et $B$ sont semblables, avec la relation $B = P^{-1} A P$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ sont semblables.

Étape 1 —

Je propose une matrice candidate

P

(souvent suggérée par l'énoncé ou par la structure des sous-espaces en jeu), et je vérifie qu'elle est inversible en calculant son déterminant ou en échelonnant.

Je propose $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ; on a $\det(P) = -1 \neq 0$ , donc $P$ est inversible.

Étape 2 —

Je calcule

A P

puis je vérifie l'égalité

A P = P B

, plus simple à manipuler que

B = P^{-1} A P

Je calcule $AP = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ et $PB = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ ; l'égalité $AP = PB$ est vérifiée.

Étape 3 —

Je conclus que

A

B

sont semblables, avec la relation

B = P^{-1} A P

Donc $B = P^{-1} A P$ , ce qui prouve que $A$ et $B$ sont semblables.

$A$ et $B$ sont semblables via $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .

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Comment montrer que deux matrices carrées sont semblables ?

En exhibant explicitement une matrice inversible PPP telle que B=P−1APB = P^{-1} A PB=P−1AP

Pour comprendre, fais des exercices !

En exhibant explicitement une matrice inversible $P$ telle que $B = P^{-1} A P$