Comment écrire la matrice d'un… : En combinant linéairement des matrices… — ECG2 approfondies | MetMat

Comment écrire la matrice d'un endomorphisme dans une base donnée ?

En combinant linéairement des matrices déjà connues à partir d'une relation sur $f$

Obtenir $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ en utilisant une relation $f = \alpha\,g + \beta\,h$ où les matrices de $g$ et $h$ sont connues.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $g \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ tel que $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(g) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ . On pose $f = 2\,g - 3\,\mathrm{Id}$ . Déterminer $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ .

L'objectif

Obtenir $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ en utilisant une relation $f = \alpha\,g + \beta\,h$ où les matrices de $g$ et $h$ sont connues.

Le principe

L'application $u \mapsto \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels de $\mathcal{L}(E)$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ : $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(\alpha g + \beta h) = \alpha\,\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(g) + \beta\,\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(h)$ .

La méthode

1
J'identifie une relation linéaire du type $f = \alpha\, g + \beta\, h$ entre $f$ et des endomorphismes $g, h$ dont les matrices sont connues dans $\mathcal{B}$ .
2
J'écris les matrices $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(g)$ et $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(h)$ et j'applique la linéarité : $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = \alpha\,\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(g) + \beta\,\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(h)$ .
3
Je calcule la combinaison linéaire de matrices et j'obtiens $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

J'identifie une relation linéaire du type

f = \alpha\, g + \beta\, h

entre

f

et des endomorphismes

g, h

dont les matrices sont connues dans

\mathcal{B}

$f$ s'écrit $f = 2 g + (-3)\,\mathrm{Id}$ avec $g$ et $\mathrm{Id}$ de matrices connues dans $\mathcal{B}$ .

Étape 2 —

J'écris les matrices

\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(g)

\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(h)

et j'applique la linéarité :

\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = \alpha\,\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(g) + \beta\,\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(h)

J'applique la linéarité : $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = 2 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - 3 I_2 = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Je calcule la combinaison linéaire de matrices et j'obtiens

\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)

J'obtiens $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ .

$\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ .

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Comment écrire la matrice d'un endomorphisme dans une base donnée ?

En combinant linéairement des matrices déjà connues à partir d'une relation sur fff

Pour comprendre, fais des exercices !

En combinant linéairement des matrices déjà connues à partir d'une relation sur $f$