Comment déterminer les lois… : En sommant les lignes ou les colonnes… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment déterminer les lois marginales à partir de la loi conjointe ?

En sommant les lignes ou les colonnes : $P([X = x_i]) = \sum_{j} P([X = x_i] \cap [Y = y_j])$

Déduire les lois individuelles de $X$ et de $Y$ lorsqu'on dispose de la loi conjointe du couple $(X, Y)$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

La loi conjointe de $(X, Y)$ est donnée par : $P([X = 0] \cap [Y = 0]) = \tfrac{1}{8}$ , $P([X = 0] \cap [Y = 1]) = \tfrac{1}{4}$ , $P([X = 1] \cap [Y = 0]) = \tfrac{1}{4}$ , $P([X = 1] \cap [Y = 1]) = \tfrac{3}{8}$ . Déterminer les lois marginales.

L'objectif

Déduire les lois individuelles de $X$ et de $Y$ lorsqu'on dispose de la loi conjointe du couple $(X, Y)$ .

Le principe

La famille $\bigl([Y = y_j]\bigr)_{j}$ formant un système complet d'événements, on a $P([X = x_i]) = \sum_{j} P([X = x_i] \cap [Y = y_j])$ et symétriquement pour $Y$ .

La méthode

1
Je précise $X(\Omega)$ et $Y(\Omega)$ ainsi que la loi conjointe (tableau ou formule).
2
Pour chaque $x_i \in X(\Omega)$ , je calcule $P([X = x_i]) = \sum_{y_j \in Y(\Omega)} P([X = x_i] \cap [Y = y_j])$ (somme sur la ligne $i$ du tableau).
3
Pour chaque $y_j \in Y(\Omega)$ , je calcule de même $P([Y = y_j]) = \sum_{x_i \in X(\Omega)} P([X = x_i] \cap [Y = y_j])$ (somme sur la colonne $j$ ).
4
Je présente les deux lois marginales et je vérifie que $\sum_i P([X = x_i]) = 1$ et $\sum_j P([Y = y_j]) = 1$ , puis je reconnais éventuellement une loi usuelle.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je précise

X(\Omega)

Y(\Omega)

ainsi que la loi conjointe (tableau ou formule).

On a $X(\Omega) = Y(\Omega) = \{0, 1\}$ et la loi conjointe est donnée par les quatre valeurs ci-dessus.

Étape 2 —

Pour chaque

x_i \in X(\Omega)

, je calcule

P([X = x_i]) = \sum_{y_j \in Y(\Omega)} P([X = x_i] \cap [Y = y_j])

(somme sur la ligne

i

du tableau).

On calcule $P([X = 0]) = \tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{8}$ et $P([X = 1]) = \tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{8} = \tfrac{5}{8}$ .

Étape 3 —

Pour chaque

y_j \in Y(\Omega)

, je calcule de même

P([Y = y_j]) = \sum_{x_i \in X(\Omega)} P([X = x_i] \cap [Y = y_j])

(somme sur la colonne

j

De même $P([Y = 0]) = \tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{8}$ et $P([Y = 1]) = \tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{8} = \tfrac{5}{8}$ .

Étape 4 —

Je présente les deux lois marginales et je vérifie que

\sum_i P([X = x_i]) = 1

\sum_j P([Y = y_j]) = 1

, puis je reconnais éventuellement une loi usuelle.

On vérifie $\tfrac{3}{8} + \tfrac{5}{8} = 1$ pour chaque marginale ; $X$ et $Y$ suivent toutes deux une loi de Bernoulli $\mathcal{B}(\tfrac{5}{8})$ .

$X \hookrightarrow \mathcal{B}\bigl(\tfrac{5}{8}\bigr)$ et $Y \hookrightarrow \mathcal{B}\bigl(\tfrac{5}{8}\bigr)$ .

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Comment déterminer les lois marginales à partir de la loi conjointe ?

En sommant les lignes ou les colonnes : P([X=xi])=∑jP([X=xi]∩[Y=yj])P([X = x_i]) = \sum_{j} P([X = x_i] \cap [Y = y_j])P([X=xi​])=∑j​P([X=xi​]∩[Y=yj​])

Pour comprendre, fais des exercices !

En sommant les lignes ou les colonnes : $P([X = x_i]) = \sum_{j} P([X = x_i] \cap [Y = y_j])$