Comment déterminer la loi de Z =… : En identifiant Z(Omega) puis en sommant… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment déterminer la loi de $Z = g(X, Y)$ (cas $X + Y$ ou $XY$ ) ?

En identifiant $Z(\Omega)$ puis en sommant $P([Z = z]) = \sum_{g(x, y) = z} P([X = x] \cap [Y = y])$

Donner la loi de probabilité d'une variable aléatoire $Z = g(X, Y)$ obtenue à partir d'un couple discret $(X, Y)$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soient $X$ et $Y$ deux v.a. indépendantes suivant la loi uniforme sur $\{1, 2, 3\}$ . Déterminer la loi de $S = X + Y$ .

L'objectif

Donner la loi de probabilité d'une variable aléatoire $Z = g(X, Y)$ obtenue à partir d'un couple discret $(X, Y)$ .

Le principe

Pour toute fonction $g \colon X(\Omega) \times Y(\Omega) \to \mathbb{R}$ , $Z = g(X, Y)$ est une v.a. discrète et $P([Z = z]) = \sum_{(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega),\ g(x, y) = z} P([X = x] \cap [Y = y])$ .

La méthode

1
Je détermine $Z(\Omega) = \{g(x, y) \mid (x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)\}$ en énumérant ou paramétrant les valeurs prises.
2
Pour chaque $z \in Z(\Omega)$ , je décris l'ensemble des couples $(x, y)$ tels que $g(x, y) = z$ .
3
Je calcule $P([Z = z]) = \sum_{(x, y) : g(x, y) = z} P([X = x] \cap [Y = y])$ en utilisant la loi conjointe.
4
Je vérifie que $\sum_{z \in Z(\Omega)} P([Z = z]) = 1$ , et je reconnais éventuellement une loi usuelle (binomiale, Poisson…).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soient $X$ et $Y$ deux v.a. indépendantes suivant la loi uniforme sur $\{1, 2, 3\}$ . Déterminer la loi de $S = X + Y$ .

Étape 1 —

Je détermine

Z(\Omega) = \{g(x, y) \mid (x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)\}

en énumérant ou paramétrant les valeurs prises.

On a $S(\Omega) = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ .

Étape 2 —

Pour chaque

z \in Z(\Omega)

, je décris l'ensemble des couples

(x, y)

tels que

g(x, y) = z

On liste les antécédents : $S = 2 \Leftrightarrow (1, 1)$ ; $S = 3 \Leftrightarrow (1, 2), (2, 1)$ ; $S = 4 \Leftrightarrow (1, 3), (2, 2), (3, 1)$ ; $S = 5 \Leftrightarrow (2, 3), (3, 2)$ ; $S = 6 \Leftrightarrow (3, 3)$ .

Étape 3 —

Je calcule

P([Z = z]) = \sum_{(x, y) : g(x, y) = z} P([X = x] \cap [Y = y])

en utilisant la loi conjointe.

Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes uniformes, chaque couple a une probabilité $\tfrac{1}{9}$ ; on en déduit $P([S = 2]) = \tfrac{1}{9}$ , $P([S = 3]) = \tfrac{2}{9}$ , $P([S = 4]) = \tfrac{3}{9}$ , $P([S = 5]) = \tfrac{2}{9}$ , $P([S = 6]) = \tfrac{1}{9}$ .

Étape 4 —

Je vérifie que

\sum_{z \in Z(\Omega)} P([Z = z]) = 1

, et je reconnais éventuellement une loi usuelle (binomiale, Poisson…).

On vérifie $\tfrac{1 + 2 + 3 + 2 + 1}{9} = \tfrac{9}{9} = 1$ : la loi est triangulaire centrée en $4$ .

$P([S = k]) = \dfrac{3 - |k - 4|}{9}$ pour $k \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ .

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Comment déterminer la loi de Z=g(X,Y)Z = g(X, Y)Z=g(X,Y) (cas X+YX + YX+Y ou XYXYXY) ?

En identifiant Z(Ω)Z(\Omega)Z(Ω) puis en sommant P([Z=z])=∑g(x,y)=zP([X=x]∩[Y=y])P([Z = z]) = \sum_{g(x, y) = z} P([X = x] \cap [Y = y])P([Z=z])=∑g(x,y)=z​P([X=x]∩[Y=y])

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment déterminer la loi de $Z = g(X, Y)$ (cas $X + Y$ ou $XY$ ) ?

En identifiant $Z(\Omega)$ puis en sommant $P([Z = z]) = \sum_{g(x, y) = z} P([X = x] \cap [Y = y])$