Comment déterminer la loi conjointe d'un couple $(X, Y)$ ?

On a $X(\Omega) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ et $Y(\Omega) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Pour $(i, j) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$, l'événement $[X = i] \cap [Y = j]$ correspond au premier dé valant $i$ et au second dé $Z$ vérifiant $\max(i, Z) = j$. Si $j < i$ c'est impossible ; si $j = i$ on doit avoir $Z \leq i$ ; si $j > i$ on doit avoir $Z = j$.

Comme les deux dés sont indépendants et équilibrés, on obtient $P([X = i] \cap [Y = j]) = 0$ si $j < i$, $\frac{i}{36}$ si $j = i$ et $\frac{1}{36}$ si $j > i$.

On vérifie : $\sum_{i = 1}^{6} \sum_{j = i}^{6} P([X = i] \cap [Y = j]) = \sum_{i = 1}^{6} \bigl(\tfrac{i}{36} + \tfrac{6 - i}{36}\bigr) = \sum_{i = 1}^{6} \tfrac{6}{36} = 1$.