Comment déterminer la loi… : En calculant P_ [Y = y_j] ([X = x_i]) =… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant $[Y = y]$ ?

En calculant $P_{[Y = y_j]}([X = x_i]) = \dfrac{P([X = x_i] \cap [Y = y_j])}{P([Y = y_j])}$

Déterminer la loi de $X$ conditionnellement à l'événement $[Y = y_j]$ pour une valeur fixée $y_j \in Y(\Omega)$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

La loi conjointe de $(X, Y)$ est donnée par $P([X = 0] \cap [Y = 0]) = \tfrac{1}{8}$ , $P([X = 0] \cap [Y = 1]) = \tfrac{1}{4}$ , $P([X = 1] \cap [Y = 0]) = \tfrac{1}{4}$ , $P([X = 1] \cap [Y = 1]) = \tfrac{3}{8}$ . Déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant $[Y = 1]$ .

L'objectif

Déterminer la loi de $X$ conditionnellement à l'événement $[Y = y_j]$ pour une valeur fixée $y_j \in Y(\Omega)$ .

Le principe

Sous l'hypothèse $P([Y = y_j]) > 0$ , la loi conditionnelle de $X$ sachant $[Y = y_j]$ est définie par $P_{[Y = y_j]}([X = x_i]) = \dfrac{P([X = x_i] \cap [Y = y_j])}{P([Y = y_j])}$ pour tout $x_i \in X(\Omega)$ .

La méthode

1
Je fixe $y_j \in Y(\Omega)$ et je vérifie que $P([Y = y_j]) > 0$ (sinon le conditionnement n'a pas de sens).
2
Je calcule $P([Y = y_j])$ comme somme marginale : $P([Y = y_j]) = \sum_{x_i \in X(\Omega)} P([X = x_i] \cap [Y = y_j])$ .
Comment déterminer les lois marginales à partir de la loi conjointe ?Voir
3
Pour chaque $x_i \in X(\Omega)$ , je calcule $P_{[Y = y_j]}([X = x_i]) = \dfrac{P([X = x_i] \cap [Y = y_j])}{P([Y = y_j])}$ .
4
Je vérifie que la loi conditionnelle est bien une loi de probabilité : $\sum_{x_i} P_{[Y = y_j]}([X = x_i]) = 1$ , et je reconnais éventuellement une loi usuelle.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je fixe

y_j \in Y(\Omega)

et je vérifie que

P([Y = y_j]) > 0

(sinon le conditionnement n'a pas de sens).

On fixe $y = 1$ et on vérifie $P([Y = 1]) > 0$ .

Étape 2 —

Je calcule

P([Y = y_j])

comme somme marginale :

P([Y = y_j]) = \sum_{x_i \in X(\Omega)} P([X = x_i] \cap [Y = y_j])

On calcule $P([Y = 1]) = \tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{8} = \tfrac{5}{8} > 0$ .

Étape 3 —

Pour chaque

x_i \in X(\Omega)

, je calcule

P_{[Y = y_j]}([X = x_i]) = \dfrac{P([X = x_i] \cap [Y = y_j])}{P([Y = y_j])}

On obtient $P_{[Y = 1]}([X = 0]) = \dfrac{1/4}{5/8} = \tfrac{2}{5}$ et $P_{[Y = 1]}([X = 1]) = \dfrac{3/8}{5/8} = \tfrac{3}{5}$ .

Étape 4 —

Je vérifie que la loi conditionnelle est bien une loi de probabilité :

\sum_{x_i} P_{[Y = y_j]}([X = x_i]) = 1

, et je reconnais éventuellement une loi usuelle.

On vérifie $\tfrac{2}{5} + \tfrac{3}{5} = 1$ : la loi conditionnelle de $X$ sachant $[Y = 1]$ est une Bernoulli $\mathcal{B}\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)$ .

$P_{[Y = 1]}([X = 0]) = \dfrac{2}{5}$ et $P_{[Y = 1]}([X = 1]) = \dfrac{3}{5}$ .

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Comment déterminer la loi conditionnelle de XXX sachant [Y=y][Y = y][Y=y] ?

En calculant P[Y=yj]([X=xi])=P([X=xi]∩[Y=yj])P([Y=yj])P_{[Y = y_j]}([X = x_i]) = \dfrac{P([X = x_i] \cap [Y = y_j])}{P([Y = y_j])}P[Y=yj​]​([X=xi​])=P([Y=yj​])P([X=xi​]∩[Y=yj​])​

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment déterminer la loi conditionnelle de $X$ sachant $[Y = y]$ ?

En calculant $P_{[Y = y_j]}([X = x_i]) = \dfrac{P([X = x_i] \cap [Y = y_j])}{P([Y = y_j])}$